课程： AST 2040 Extragalactic AstronomyLecture 1 定位： Practicalities & introduction to galaxy formation 本文用途： 整合本次学习中围绕 Lecture 1 提出的所有问题，把第一讲呈现的“宇宙从早期近乎均匀的状态演化到暗物质晕、恒星和星系”的总图补充完整。
范围说明
课程安排把 Lecture 1 定位为星系形成的导论。第一讲用一条 cosmic history 时间线预览了后续会分别深入讲授的密度扰动、暗物质晕、气体、最早星系、IGM 和再电离等主题。因此，本文会解释这些在第一讲问答中已经出现的概念，但不把它们写成后续专题课的完整替代品。
1. 第一讲的核心主线
第一讲想建立的不是一串彼此孤立的名词，而是一条有因果关系的演化链：
Big Bang → inflation → hot expanding universe → BBN → ionized plasma → matter-radiation equality → recombination / CMB → Dark Ages → dark-matter halos → Cosmic Dawn / Pop III → feedback and enrichment → reionization → galaxy evolution today . \boxed{
\begin{aligned}
&\text{Big Bang}
\rightarrow \text{inflation}
\rightarrow \text{hot expanding universe}
\rightarrow \text{BBN}\\
&\rightarrow \text{ionized plasma}
\rightarrow \text{matter-radiation equality}
\rightarrow \text{recombination / CMB}\\
&\rightarrow \text{Dark Ages}
\rightarrow \text{dark-matter halos}
\rightarrow \text{Cosmic Dawn / Pop III}\\
&\rightarrow \text{feedback and enrichment}
\rightarrow \text{reionization}
\rightarrow \text{galaxy evolution today}.
\end{aligned}} Big Bang → inflation → hot expanding universe → BBN → ionized plasma → matter-radiation equality → recombination / CMB → Dark Ages → dark-matter halos → Cosmic Dawn / Pop III → feedback and enrichment → reionization → galaxy evolution today . 其中最重要的物理逻辑是：
宇宙膨胀导致冷却。 光子的波长随尺度因子增长，温度随之下降。冷却使不同物理过程依次发生。 先能形成轻元素原子核，后来才能形成中性原子，再后来气体才能在暗物质势阱中形成恒星。暴胀产生并拉伸原初扰动。 CMB 中约 10 − 5 10^{-5} 1 0 − 5 引力放大密度扰动。 暗物质先形成 cosmic web 和 halos，普通气体随后落入这些引力势阱。气体冷却形成恒星，恒星又反过来改变气体。 辐射、恒星风、超新星和金属增丰共同构成 feedback。
1.1 近似时间线
下表中的时间和红移是便于建立量级感的近似值；Cosmic Dawn、第一批 halos 和再电离都不是在一个瞬间发生的，因此其边界具有模型依赖性。
阶段 典型时间 / 红移 主要事件 inflation 极早期，常放在约 10 − 36 10^{-36} 1 0 − 36 10 − 32 s 10^{-32}\,\mathrm{s} 1 0 − 32 s 加速膨胀；缩小 comoving Hubble radius；拉伸量子涨落 BBN t ∼ 1 s t\sim1\,\mathrm{s} t ∼ 1 s 20 m i n 20\,\mathrm{min} 20 min 合成 H、He、D、3 ^3 3 ionized plasma BBN 后至 recombination 前 自由电子使宇宙对光不透明 matter-radiation equality z e q ∼ 3400 z_{\rm eq}\sim3400 z eq ∼ 3400 物质密度超过辐射密度，结构增长变得更有效 recombination / photon decoupling z ∼ 1100 z\sim1100 z ∼ 1100 t ∼ 3.8 × 10 5 y r t\sim3.8\times10^5\,\mathrm{yr} t ∼ 3.8 × 1 0 5 yr T ∼ 3000 K T\sim3000\,\mathrm K T ∼ 3000 K 中性原子形成；光子开始自由传播，留下 CMB Dark Ages recombination 后到第一批发光天体出现前 宇宙主要为中性气体，尚无恒星光源 Cosmic Dawn 常概括为 z ∼ 30 z\sim30 z ∼ 30 6 6 6 第一代恒星、最早星系和可能的黑洞种子出现 hydrogen reionization 大致在 Cosmic Dawn 内展开，至 z ∼ 5 z\sim5 z ∼ 5 6 6 6 中性氢 IGM 被电离光子重新电离 cosmic star-formation peak z ∼ 2 z\sim2 z ∼ 2 单位 comoving volume 内的平均恒星形成率密度达到峰值 helium reionization 大致到 z ∼ 3 z\sim3 z ∼ 3 高能辐射将 He II 进一步电离为 He III dark-energy domination 低红移，约 z ≲ 1 z\lesssim1 z ≲ 1 宇宙晚期膨胀加速
2. 描述膨胀宇宙的基本语言
2.1 Scale factor 与 redshift
尺度因子 a ( t ) a(t) a ( t )
a 0 = 1. a_0=1. a 0 = 1. 宇宙学红移定义为
1 + z = a 0 a ( t ) , \boxed{1+z=\frac{a_0}{a(t)}}, 1 + z = a ( t ) a 0 , 所以在 a 0 = 1 a_0=1 a 0 = 1
a = 1 1 + z . \boxed{a=\frac{1}{1+z}}. a = 1 + z 1 . 因此：
redshift 当时的 scale factor z = 0 z=0 z = 0 a = 1 a=1 a = 1 z = 1 z=1 z = 1 a = 1 / 2 a=1/2 a = 1/2 z = 5 z=5 z = 5 a = 1 / 6 a=1/6 a = 1/6 z = 10 z=10 z = 10 a = 1 / 11 a=1/11 a = 1/11 z = 1100 z=1100 z = 1100 a ≃ 1 / 1101 a\simeq1/1101 a ≃ 1/1101
注意： redshift 不是时间本身。把 z z z H 0 H_0 H 0 Ω m \Omega_m Ω m Ω Λ \Omega_\Lambda Ω Λ z z z
2.2 光子的 redshift、能量和宇宙温度
自由传播光子的波长随宇宙膨胀而增长：
λ ∝ a . \lambda\propto a. λ ∝ a . 因为
E γ = h ν = h c λ , E_\gamma=h\nu=\frac{hc}{\lambda}, E γ = h ν = λ h c , 所以
E γ ∝ a − 1 ∝ 1 + z . \boxed{E_\gamma\propto a^{-1}\propto1+z}. E γ ∝ a − 1 ∝ 1 + z . 这就是 cosmological redshift：宇宙膨胀使波长变长、频率降低、单个光子的能量降低。黑体辐射的温度也满足
T γ ( z ) = T C M B , 0 ( 1 + z ) , \boxed{T_\gamma(z)=T_{\rm CMB,0}(1+z)}, T γ ( z ) = T CMB , 0 ( 1 + z ) , 其中今天的 CMB 温度为
T C M B , 0 ≃ 2.725 K . T_{\rm CMB,0}\simeq2.725\,\mathrm K. T CMB , 0 ≃ 2.725 K . 例如 z ∼ 1100 z\sim1100 z ∼ 1100
T γ ∼ 2.725 × 1101 ≃ 3000 K . T_\gamma\sim2.725\times1101\simeq3000\,\mathrm K. T γ ∼ 2.725 × 1101 ≃ 3000 K . 2.3 为什么“单个光子能量”是 a − 1 a^{-1} a − 1 a − 4 a^{-4} a − 4
这是本次问答中的一个关键易混点。
单个光子的能量只有 redshift 因子：
E γ ∝ a − 1 . E_\gamma\propto a^{-1}. E γ ∝ a − 1 . 但是能量密度还要考虑单位体积内光子数的下降。物理体积随膨胀满足
V p h y s ∝ a 3 , V_{\rm phys}\propto a^3, V phys ∝ a 3 , 所以光子数密度为
n γ ∝ a − 3 . n_\gamma\propto a^{-3}. n γ ∝ a − 3 . 因此
ρ r ∼ n γ E γ ∝ a − 3 a − 1 , \rho_r\sim n_\gamma E_\gamma
\propto a^{-3}a^{-1}, ρ r ∼ n γ E γ ∝ a − 3 a − 1 , 即
ρ r ∝ a − 4 ∝ ( 1 + z ) 4 . \boxed{\rho_r\propto a^{-4}\propto(1+z)^4}. ρ r ∝ a − 4 ∝ ( 1 + z ) 4 . 非相对论物质的单粒子静质量能量近似不受膨胀影响，主要只有体积稀释：
ρ m ∝ a − 3 ∝ ( 1 + z ) 3 . \boxed{\rho_m\propto a^{-3}\propto(1+z)^3}. ρ m ∝ a − 3 ∝ ( 1 + z ) 3 . 宇宙学常数形式的暗能量则近似满足
ρ Λ = constant . \boxed{\rho_\Lambda=\text{constant}}. ρ Λ = constant . 成分 物理能量密度随 a a a 原因 radiation ρ r ∝ a − 4 \rho_r\propto a^{-4} ρ r ∝ a − 4 体积稀释 a − 3 a^{-3} a − 3 a − 1 a^{-1} a − 1 non-relativistic matter ρ m ∝ a − 3 \rho_m\propto a^{-3} ρ m ∝ a − 3 主要只有体积稀释 cosmological constant ρ Λ ∝ a 0 \rho_\Lambda\propto a^0 ρ Λ ∝ a 0 真空能量密度保持不变
这直接解释了为什么宇宙会依次经历 radiation domination、matter domination 和晚期 dark-energy domination。
2.4 Physical scale 与 comoving scale
一个随 Hubble flow 运动、没有额外 peculiar motion 的结构，其 comoving coordinate χ \chi χ
D p h y s ( t ) = a ( t ) χ . \boxed{D_{\rm phys}(t)=a(t)\chi}. D phys ( t ) = a ( t ) χ . 在今天 a 0 = 1 a_0=1 a 0 = 1 R c o m R_{\rm com} R com z z z
R p h y s ( z ) = R c o m 1 + z . \boxed{R_{\rm phys}(z)=\frac{R_{\rm com}}{1+z}}. R phys ( z ) = 1 + z R com . 例如，一个 11 c M p c 11\,\mathrm{cMpc} 11 cMpc z = 10 z=10 z = 10
R p h y s = 11 11 M p c = 1 M p c . R_{\rm phys}=\frac{11}{11}\,\mathrm{Mpc}=1\,\mathrm{Mpc}. R phys = 11 11 Mpc = 1 Mpc . 常见单位写法：
cMpc / ckpc： comoving Mpc / kpcpMpc / pkpc： physical Mpc / kpc
必须看论文或图注说明采用哪一种。若只写 Mpc 或 kpc 而没有说明，不能自行假定。
同理，图上画的 star-formation-rate density per comoving volume 是把膨胀造成的体积变化剥离后，比较不同宇宙时代同一 comoving 区域内的恒星形成活动；它不是某个物理体积在膨胀过程中不经转换的直接比较。
3. Hubble parameter、critical density 与膨胀历史
3.1 Hubble parameter
Hubble parameter 定义为
H ( t ) = a ˙ a . \boxed{H(t)=\frac{\dot a}{a}}. H ( t ) = a a ˙ . 它描述单位尺度因子的相对增长率。今天的值记为 H 0 H_0 H 0
H 0 = 100 h k m s − 1 M p c − 1 , h = 0.7 , H_0=100h\,\mathrm{km\,s^{-1}\,Mpc^{-1}},\qquad h=0.7, H 0 = 100 h km s − 1 Mp c − 1 , h = 0.7 , 所以
H 0 = 70 k m s − 1 M p c − 1 . \boxed{H_0=70\,\mathrm{km\,s^{-1}\,Mpc^{-1}}}. H 0 = 70 km s − 1 Mp c − 1 . 3.2 H ( z ) H(z) H ( z )
Friedmann equation 可以写成
H ( z ) = H 0 E ( z ) \boxed{
H(z)=H_0E(z)
} H ( z ) = H 0 E ( z ) 其中
E ( z ) = Ω r , 0 ( 1 + z ) 4 + Ω m , 0 ( 1 + z ) 3 + Ω k , 0 ( 1 + z ) 2 + Ω Λ , 0 . \boxed{
E(z)=\sqrt{
\Omega_{r,0}(1+z)^4+
\Omega_{m,0}(1+z)^3+
\Omega_{k,0}(1+z)^2+
\Omega_{\Lambda,0}}
}. E ( z ) = Ω r , 0 ( 1 + z ) 4 + Ω m , 0 ( 1 + z ) 3 + Ω k , 0 ( 1 + z ) 2 + Ω Λ , 0 . 各项分别代表 radiation、matter、curvature 和 cosmological constant。若采用本题的平坦 Λ \Lambda Λ z ≤ 10 z\le10 z ≤ 10
Ω k , 0 = 0 , Ω Λ , 0 = 1 − Ω m , 0 = 0.7 , \Omega_{k,0}=0,
\qquad
\Omega_{\Lambda,0}=1-\Omega_{m,0}=0.7, Ω k , 0 = 0 , Ω Λ , 0 = 1 − Ω m , 0 = 0.7 , 于是
H ( z ) = 70 0.3 ( 1 + z ) 3 + 0.7 k m s − 1 M p c − 1 . \boxed{
H(z)=70\sqrt{0.3(1+z)^3+0.7}
\ \mathrm{km\,s^{-1}\,Mpc^{-1}}.
} H ( z ) = 70 0.3 ( 1 + z ) 3 + 0.7 km s − 1 Mp c − 1 . 测量与假设要分开： 题目明确给了 G G G h = 0.7 h=0.7 h = 0.7 Ω m = 0.3 \Omega_m=0.3 Ω m = 0.3 Ω Λ = 0.7 \Omega_\Lambda=0.7 Ω Λ = 0.7
3.3 Critical density 的意义
critical density 定义为
ρ c ( z ) = 3 H ( z ) 2 8 π G . \boxed{\rho_c(z)=\frac{3H(z)^2}{8\pi G}}. ρ c ( z ) = 8 π G 3 H ( z ) 2 . 它是把 Friedmann equation 中空间曲率项分开的一个参考密度。定义
Ω ( z ) = ρ t o t a l ( z ) ρ c ( z ) . \Omega(z)=\frac{\rho_{\rm total}(z)}{\rho_c(z)}. Ω ( z ) = ρ c ( z ) ρ total ( z ) . 在简单 FLRW 几何中：
Ω = 1 \Omega=1 Ω = 1 Ω > 1 \Omega>1 Ω > 1 Ω < 1 \Omega<1 Ω < 1
critical density 不是“宇宙中实际物质的密度”。实际 matter density 是
ρ m ( z ) = Ω m , 0 ρ c , 0 ( 1 + z ) 3 . \boxed{\rho_m(z)=\Omega_{m,0}\rho_{c,0}(1+z)^3}. ρ m ( z ) = Ω m , 0 ρ c , 0 ( 1 + z ) 3 . 而 ρ c ( z ) \rho_c(z) ρ c ( z ) H ( z ) H(z) H ( z )
3.4 课堂例题：计算 z = 0 z=0 z = 0 z = 10 z=10 z = 10 H ( z ) H(z) H ( z ) ρ c ( z ) \rho_c(z) ρ c ( z )
给定：
G = 6.68 × 10 − 8 c m 3 g − 1 s − 2 , G=6.68\times10^{-8}\,\mathrm{cm^3\,g^{-1}\,s^{-2}}, G = 6.68 × 1 0 − 8 c m 3 g − 1 s − 2 , H 0 = 70 k m s − 1 M p c − 1 , Ω m , 0 = 0.3. H_0=70\,\mathrm{km\,s^{-1}\,Mpc^{-1}},
\qquad
\Omega_{m,0}=0.3. H 0 = 70 km s − 1 Mp c − 1 , Ω m , 0 = 0.3. 并假设平坦 Λ \Lambda Λ Ω Λ , 0 = 0.7 \Omega_{\Lambda,0}=0.7 Ω Λ , 0 = 0.7
Step 1：把 H 0 H_0 H 0
使用
1 k m = 10 5 c m , 1 M p c = 3.086 × 10 24 c m , 1\,\mathrm{km}=10^5\,\mathrm{cm},
\qquad
1\,\mathrm{Mpc}=3.086\times10^{24}\,\mathrm{cm}, 1 km = 1 0 5 cm , 1 Mpc = 3.086 × 1 0 24 cm , 得到
H 0 = 70 × 10 5 3.086 × 10 24 s − 1 ≃ 2.27 × 10 − 18 s − 1 . H_0=
\frac{70\times10^5}{3.086\times10^{24}}\,\mathrm{s^{-1}}
\simeq2.27\times10^{-18}\,\mathrm{s^{-1}}. H 0 = 3.086 × 1 0 24 70 × 1 0 5 s − 1 ≃ 2.27 × 1 0 − 18 s − 1 . Step 2：z = 0 z=0 z = 0
H ( 0 ) = H 0 0.3 + 0.7 = H 0 , H(0)=H_0\sqrt{0.3+0.7}=H_0, H ( 0 ) = H 0 0.3 + 0.7 = H 0 , 所以
H ( 0 ) = 70 k m s − 1 M p c − 1 . \boxed{H(0)=70\,\mathrm{km\,s^{-1}\,Mpc^{-1}}}. H ( 0 ) = 70 km s − 1 Mp c − 1 . 今天的 critical density 为
ρ c , 0 = 3 ( 2.27 × 10 − 18 s − 1 ) 2 8 π ( 6.68 × 10 − 8 c m 3 g − 1 s − 2 ) , \rho_{c,0}
=\frac{3(2.27\times10^{-18}\,\mathrm{s^{-1}})^2}
{8\pi(6.68\times10^{-8}\,\mathrm{cm^3\,g^{-1}\,s^{-2}})}, ρ c , 0 = 8 π ( 6.68 × 1 0 − 8 c m 3 g − 1 s − 2 ) 3 ( 2.27 × 1 0 − 18 s − 1 ) 2 , 因此
ρ c , 0 ≃ 9.2 × 10 − 30 g c m − 3 . \boxed{\rho_{c,0}\simeq9.2\times10^{-30}\,\mathrm{g\,cm^{-3}}}. ρ c , 0 ≃ 9.2 × 1 0 − 30 g c m − 3 . Step 3：z = 10 z=10 z = 10
此时 1 + z = 11 1+z=11 1 + z = 11
H ( 10 ) = H 0 0.3 ( 11 ) 3 + 0.7 = H 0 0.3 × 1331 + 0.7 = H 0 400 = 20 H 0 . \begin{aligned}
H(10)
&=H_0\sqrt{0.3(11)^3+0.7}\\
&=H_0\sqrt{0.3\times1331+0.7}\\
&=H_0\sqrt{400}\\
&=20H_0.
\end{aligned} H ( 10 ) = H 0 0.3 ( 11 ) 3 + 0.7 = H 0 0.3 × 1331 + 0.7 = H 0 400 = 20 H 0 . 因此
H ( 10 ) = 1400 k m s − 1 M p c − 1 \boxed{H(10)=1400\,\mathrm{km\,s^{-1}\,Mpc^{-1}}} H ( 10 ) = 1400 km s − 1 Mp c − 1 以及
H ( 10 ) ≃ 4.54 × 10 − 17 s − 1 . \boxed{H(10)\simeq4.54\times10^{-17}\,\mathrm{s^{-1}}}. H ( 10 ) ≃ 4.54 × 1 0 − 17 s − 1 . 由于 ρ c ∝ H 2 \rho_c\propto H^2 ρ c ∝ H 2
ρ c ( 10 ) = ( H ( 10 ) H 0 ) 2 ρ c , 0 = 20 2 ρ c , 0 , \rho_c(10)=\left(\frac{H(10)}{H_0}\right)^2\rho_{c,0}
=20^2\rho_{c,0}, ρ c ( 10 ) = ( H 0 H ( 10 ) ) 2 ρ c , 0 = 2 0 2 ρ c , 0 , 所以
ρ c ( 10 ) = 400 ρ c , 0 ≃ 3.68 × 10 − 27 g c m − 3 . \boxed{\rho_c(10)=400\rho_{c,0}
\simeq3.68\times10^{-27}\,\mathrm{g\,cm^{-3}}}. ρ c ( 10 ) = 400 ρ c , 0 ≃ 3.68 × 1 0 − 27 g c m − 3 . 最终比较：
Quantity z = 0 z=0 z = 0 z = 10 z=10 z = 10 H ( z ) H(z) H ( z ) 70 k m s − 1 M p c − 1 70\,\mathrm{km\,s^{-1}\,Mpc^{-1}} 70 km s − 1 Mp c − 1 1400 k m s − 1 M p c − 1 1400\,\mathrm{km\,s^{-1}\,Mpc^{-1}} 1400 km s − 1 Mp c − 1 H ( z ) / H 0 H(z)/H_0 H ( z ) / H 0 1 1 1 20 20 20 ρ c ( z ) \rho_c(z) ρ c ( z ) 9.2 × 10 − 30 g c m − 3 9.2\times10^{-30}\,\mathrm{g\,cm^{-3}} 9.2 × 1 0 − 30 g c m − 3 3.68 × 10 − 27 g c m − 3 3.68\times10^{-27}\,\mathrm{g\,cm^{-3}} 3.68 × 1 0 − 27 g c m − 3 ρ c ( z ) / ρ c , 0 \rho_c(z)/\rho_{c,0} ρ c ( z ) / ρ c , 0 1 1 1 400 400 400
Step 4：为什么 z = 10 z=10 z = 10
ρ m ( 10 ) = 0.3 ρ c , 0 ( 11 ) 3 = 399.3 ρ c , 0 . \rho_m(10)
=0.3\rho_{c,0}(11)^3
=399.3\rho_{c,0}. ρ m ( 10 ) = 0.3 ρ c , 0 ( 11 ) 3 = 399.3 ρ c , 0 . 而本题近似下
ρ c ( 10 ) = 400 ρ c , 0 . \rho_c(10)=400\rho_{c,0}. ρ c ( 10 ) = 400 ρ c , 0 . 两者很接近，是因为 z = 10 z=10 z = 10
0.3 ( 11 ) 3 = 399.3 ≫ 0.7. 0.3(11)^3=399.3\gg0.7. 0.3 ( 11 ) 3 = 399.3 ≫ 0.7. 这不意味着两种密度的定义相同，只说明当时宇宙几乎由 matter 项主导。
4. Inflation：为什么需要暴胀？
Inflation 是极早期宇宙的一段 accelerated expansion，核心条件是
a ¨ > 0 . \boxed{\ddot a>0}. a ¨ > 0 . 在近似 de Sitter 的情况下，
a ( t ) ∝ e H t , H ≈ constant . a(t)\propto e^{Ht},
\qquad H\approx\text{constant}. a ( t ) ∝ e H t , H ≈ constant . 它的重要作用有两层：
缓解标准热大爆炸模型中的 horizon、flatness 和 monopole problems；
把微观量子涨落拉伸成宇宙尺度的原初扰动，为 CMB anisotropies 和后来的结构形成提供种子。
4.1 Horizon problem：视界问题
CMB 的平均温度约为 2.725 K 2.725\,\mathrm K 2.725 K
Δ T T ∼ 10 − 5 . \frac{\Delta T}{T}\sim10^{-5}. T Δ T ∼ 1 0 − 5 . 然而，在没有 inflation 的标准减速膨胀历史中，recombination 时天空中相距很远的区域没有足够时间彼此交换光子和能量，因而无法通过普通因果过程达到热平衡。问题是：
从未有足够因果接触的区域，为什么温度几乎相同？ \boxed{\text{从未有足够因果接触的区域，为什么温度几乎相同？}} 从未有足够因果接触的区域，为什么温度几乎相同？ Inflation 的回答不是“让今天相距遥远的区域重新通信”，而是：
它们先在一个很小的 causal patch 中达到共同状态，随后才被 inflation 拉开。 \boxed{
\text{它们先在一个很小的 causal patch 中达到共同状态，随后才被 inflation 拉开。}
} 它们先在一个很小的 causal patch 中达到共同状态，随后才被 inflation 拉开。 4.2 Flatness problem：平坦性问题
Friedmann equation 给出
Ω − 1 = k c 2 a 2 H 2 . \Omega-1=\frac{kc^2}{a^2H^2}. Ω − 1 = a 2 H 2 k c 2 . 在普通 radiation- 或 matter-dominated 的减速宇宙中，∣ Ω − 1 ∣ |\Omega-1| ∣Ω − 1∣ Ω \Omega Ω
Inflation 时 a a a H H H
∣ Ω − 1 ∣ ∝ 1 a 2 H 2 → 0. |\Omega-1|\propto\frac{1}{a^2H^2}\rightarrow0. ∣Ω − 1∣ ∝ a 2 H 2 1 → 0. 即
Ω → 1 . \boxed{\Omega\rightarrow1}. Ω → 1 . 直观上，类似于把一个弯曲表面的极小区域放大到巨大尺度后，该区域看起来越来越平。
4.3 Monopole problem：磁单极子问题
某些 grand unified theories 预言早期宇宙相变会产生大量稳定、质量很高的拓扑缺陷，例如 magnetic monopoles。如果这些遗迹具有原本预期的丰度，它们可能会严重影响宇宙密度，但观测中没有看到这样的数量。
Inflation 让空间体积指数增长，使任何在暴胀前产生的 monopoles 数密度被巨大稀释：
n m o n o p o l e ∝ a − 3 . n_{\rm monopole}\propto a^{-3}. n monopole ∝ a − 3 . 因此它们在我们的可观测宇宙中可以变得极其稀少。严格地说，暴胀是否彻底避免某种遗迹，还取决于 reheating 温度会不会在暴胀后重新产生它们。
4.4 Comoving Hubble radius：理解 inflation 的关键量
physical Hubble radius 为
R H = c H , R_H=\frac{c}{H}, R H = H c , 对应的 comoving Hubble radius 是
r H = c a H . \boxed{r_H=\frac{c}{aH}}. r H = a H c . 常取 c = 1 c=1 c = 1 ( a H ) − 1 (aH)^{-1} ( a H ) − 1
普通减速膨胀阶段
Radiation domination：
a ∝ t 1 / 2 , H = 1 2 t , a\propto t^{1/2},\qquad H=\frac{1}{2t}, a ∝ t 1/2 , H = 2 t 1 , 所以
( a H ) − 1 ∝ t 1 / 2 增大 . (aH)^{-1}\propto t^{1/2}\quad\text{增大}. ( a H ) − 1 ∝ t 1/2 增大 . Matter domination：
a ∝ t 2 / 3 , H = 2 3 t , a\propto t^{2/3},\qquad H=\frac{2}{3t}, a ∝ t 2/3 , H = 3 t 2 , 所以
( a H ) − 1 ∝ t 1 / 3 增大 . (aH)^{-1}\propto t^{1/3}\quad\text{增大}. ( a H ) − 1 ∝ t 1/3 增大 . Inflation 阶段
a ∝ e H t , H ≈ constant , a\propto e^{Ht},\qquad H\approx\text{constant}, a ∝ e H t , H ≈ constant , 因此
( a H ) − 1 ∝ e − H t 减小 . \boxed{(aH)^{-1}\propto e^{-Ht}\quad\text{减小}}. ( a H ) − 1 ∝ e − H t 减小 . 由于 a H = a ˙ aH=\dot a a H = a ˙
1 a H = 1 a ˙ . \frac{1}{aH}=\frac{1}{\dot a}. a H 1 = a ˙ 1 . 若 a ¨ > 0 \ddot a>0 a ¨ > 0 a ˙ \dot a a ˙ ( a H ) − 1 (aH)^{-1} ( a H ) − 1
4.5 Horizon exit 与 re-entry
取一个固定的 comoving wavelength λ c o m \lambda_{\rm com} λ com
λ p h y s = a λ c o m . \lambda_{\rm phys}=a\lambda_{\rm com}. λ phys = a λ com . Inflation 时 λ p h y s \lambda_{\rm phys} λ phys H − 1 H^{-1} H − 1
λ p h y s < c H \lambda_{\rm phys}<\frac{c}{H} λ phys < H c 的 mode，后来会变成
λ p h y s > c H . \lambda_{\rm phys}>\frac{c}{H}. λ phys > H c . 这称为 horizon exit，更严谨地说是 Hubble-radius crossing 。Inflation 结束后，comoving Hubble radius 在 radiation / matter domination 中重新增大，所以该 mode 又会 re-enter：
inside Hubble radius → exit during inflation → re-enter later . \boxed{
\text{inside Hubble radius}
\rightarrow\text{exit during inflation}
\rightarrow\text{re-enter later}.
} inside Hubble radius → exit during inflation → re-enter later . 原初量子涨落被拉伸到大尺度、在超 Hubble 尺度上近似冻结，后来 re-enter 并成为 CMB 和物质密度扰动。最终因果链是
quantum fluctuations → primordial perturbations → CMB anisotropies → halos → galaxies . \boxed{
\text{quantum fluctuations}
\rightarrow\text{primordial perturbations}
\rightarrow\text{CMB anisotropies}
\rightarrow\text{halos}
\rightarrow\text{galaxies}.
} quantum fluctuations → primordial perturbations → CMB anisotropies → halos → galaxies . 严谨术语提醒
Hubble radius c / H c/H c / H
d p a r t i c l e ( t ) = a ( t ) ∫ t i t c d t ′ a ( t ′ ) . d_{\rm particle}(t)
=a(t)\int_{t_i}^{t}\frac{c\,dt'}{a(t')}. d particle ( t ) = a ( t ) ∫ t i t a ( t ′ ) c d t ′ . 课堂和论文常把 Hubble-radius crossing 简称为 horizon crossing，但理解概念时应知道这层区别。
为什么 inflation 不违反相对论？
特殊相对论禁止的是物体在局部惯性系中穿过空间的速度超过 c c c H D > c HD>c H D > c
5. BBN：宇宙大爆炸核合成
BBN 是 Big Bang Nucleosynthesis ，指大爆炸后最初几分钟中，质子和中子结合形成最轻元素原子核的过程。
主要产物包括：
大量 1 H ^1\mathrm H 1 H
大量 4 H e ^4\mathrm{He} 4 He
少量 deuterium（2 H ^2\mathrm H 2 H
少量 3 H e ^3\mathrm{He} 3 He
痕量 7 L i ^7\mathrm{Li} 7 Li
典型的 primordial mass fractions 为
X H ≃ 0.75 , Y H e ≃ 0.25. \boxed{X_{\rm H}\simeq0.75,\qquad Y_{\rm He}\simeq0.25.} X H ≃ 0.75 , Y He ≃ 0.25. 这里的 75% 和 25% 是质量分数 ，不是原子数分数。按原子核数计，氦远少于氢，因为一个 4 ^4 4
BBN 基本不能制造大量 C、O、Fe 等重元素；这些主要来自后来的 stellar nucleosynthesis。
5.1 BBN 与 recombination 不是一回事
BBN：形成原子核 \boxed{\text{BBN：形成原子核}} BBN ：形成原子核 recombination：电子与原子核结合成中性原子 \boxed{\text{recombination：电子与原子核结合成中性原子}} recombination ：电子与原子核结合成中性原子 BBN 后宇宙仍然太热，电子不能稳定地与原子核结合，因此物质仍是 ionized plasma。
5.2 为什么原初成分约为 75% H + 25% He？
关键有两点：
BBN 真正有效合成氦时，中子与质子数目比约为
n n n p ∼ 1 7 ; \frac{n_n}{n_p}\sim\frac17; n p n n ∼ 7 1 ;
几乎所有幸存中子最终都进入最稳定的轻核 4 H e ^4\mathrm{He} 4 He
把 n : p = 1 : 7 n:p=1:7 n : p = 1 : 7
2 n + 14 p . 2n+14p. 2 n + 14 p . 一个 4 H e ^4\mathrm{He} 4 He
2 n + 2 p → 4 H e , 2n+2p\rightarrow{}^4\mathrm{He}, 2 n + 2 p → 4 He , 因此两个中子和两个质子构成一个氦核，剩余 12 个质子成为氢核。总共 16 个核子的质量中：
所以
Y H e = 4 16 = 25 % , Y_{\rm He}=\frac{4}{16}=25\%, Y He = 16 4 = 25% , X H = 12 16 = 75 % . X_{\rm H}=\frac{12}{16}=75\%. X H = 16 12 = 75%. 一般地，令
r ≡ n n n p , r\equiv\frac{n_n}{n_p}, r ≡ n p n n , 并假设全部中子进入 4 ^4 4
Y p ≃ 2 r 1 + r . \boxed{Y_p\simeq\frac{2r}{1+r}}. Y p ≃ 1 + r 2 r . 代入 r = 1 / 7 r=1/7 r = 1/7
Y p = 2 / 7 1 + 1 / 7 = 1 4 . Y_p=\frac{2/7}{1+1/7}=\frac14. Y p = 1 + 1/7 2/7 = 4 1 . 5.3 为什么 n / p n/p n / p 1 / 7 1/7 1/7
早期弱相互作用不断使中子和质子互相转化，例如
n + ν e ↔ p + e − , n+\nu_e\leftrightarrow p+e^-, n + ν e ↔ p + e − , n + e + ↔ p + ν ˉ e . n+e^+\leftrightarrow p+\bar\nu_e. n + e + ↔ p + ν ˉ e . 热平衡时大致有
n n n p ≃ exp ( − Δ m c 2 k T ) , \frac{n_n}{n_p}\simeq
\exp\left(-\frac{\Delta mc^2}{kT}\right), n p n n ≃ exp ( − k T Δ m c 2 ) , 其中
Δ m c 2 = ( m n − m p ) c 2 ≃ 1.293 M e V . \Delta mc^2=(m_n-m_p)c^2\simeq1.293\,\mathrm{MeV}. Δ m c 2 = ( m n − m p ) c 2 ≃ 1.293 MeV . 因为中子比质子重，温度降低时中子比例下降。到 T ∼ 0.7 T\sim0.7 T ∼ 0.7 0.8 M e V 0.8\,\mathrm{MeV} 0.8 MeV n / p n/p n / p 1 / 6 1/6 1/6 1 / 7 1/7 1/7
5.4 Deuterium bottleneck
虽然反应
p + n → D + γ p+n\rightarrow D+\gamma p + n → D + γ 可以形成 deuterium，但早期 photon-to-baryon ratio 极高，高能光子的尾部能立即 photodissociate deuterium。直到宇宙进一步冷却，deuterium 才能稳定保存；之后反应网络才迅速把大部分中子加工进 4 ^4 4 deuterium bottleneck 。
因此，25% 并不是巧合，而主要由以下物理共同决定：
weak freeze-out + neutron decay + deuterium bottleneck + efficient 4 H e formation . \boxed{
\text{weak freeze-out}
+\text{neutron decay}
+\text{deuterium bottleneck}
+\text{efficient }^4\mathrm{He}\text{ formation}.
} weak freeze-out + neutron decay + deuterium bottleneck + efficient 4 He formation . 6. Matter-radiation equality、recombination 与 CMB
6.1 Matter-radiation equality
由于
ρ r ∝ ( 1 + z ) 4 , ρ m ∝ ( 1 + z ) 3 , \rho_r\propto(1+z)^4,
\qquad
\rho_m\propto(1+z)^3, ρ r ∝ ( 1 + z ) 4 , ρ m ∝ ( 1 + z ) 3 , 往高红移走时 radiation 增长得更快，因此极早期宇宙 radiation dominated。随着膨胀，辐射密度下降更快，最终出现
ρ m = ρ r . \rho_m=\rho_r. ρ m = ρ r . 这就是 matter-radiation equality，典型红移为
z e q ∼ 3400 . \boxed{z_{\rm eq}\sim3400}. z eq ∼ 3400 . Equality 不是 recombination：前者是宇宙总能量密度主导成分的转换；后者是原子电离状态和光子平均自由程的转换。Equality 发生得更早。
暗物质扰动在 radiation-dominated 时代内视界尺度上的增长受到抑制；matter domination 后，在线性近似和简单条件下，其 growing mode 近似满足
δ ∝ a . \boxed{\delta\propto a}. δ ∝ a . 因此 equality 是后续结构形成的重要转折点。
6.2 为什么 recombination 前宇宙不透明？
BBN 产生了原子核，但宇宙仍由
p + + e − + H e + + / H e + + γ p^++e^-+\mathrm{He}^{++}/\mathrm{He}^{+}+\gamma p + + e − + He ++ / He + + γ 构成。自由电子不断通过 Thomson scattering 与光子相互作用：
γ + e − → γ + e − . \gamma+e^-\rightarrow\gamma+e^-. γ + e − → γ + e − . 光子的平均自由程很短，因此宇宙像不透明的雾。
6.3 Recombination 与 photon decoupling
当宇宙冷却到约
T ∼ 3000 K , z ∼ 1100 , T\sim3000\,\mathrm K,
\qquad z\sim1100, T ∼ 3000 K , z ∼ 1100 , 电子开始稳定地与原子核结合，例如
p + e − → H + γ . p+e^-\rightarrow\mathrm H+\gamma. p + e − → H + γ . 自由电子数大幅降低，Thomson scattering rate 下降，光子开始自由传播。recombination 和 photon decoupling 在时间上非常接近，但概念上分别强调：
recombination： 物质从高度电离转为大部分中性；photon decoupling： 光子不再频繁散射，开始近似自由传播。
6.4 为什么氢的电离能是 13.6 e V 13.6\,\mathrm{eV} 13.6 eV 3000 K 3000\,\mathrm K 3000 K
13.6 e V 13.6\,\mathrm{eV} 13.6 eV 3000 K 3000\,\mathrm K 3000 K
n γ n b ∼ 10 9 . \frac{n_\gamma}{n_b}\sim10^9. n b n γ ∼ 1 0 9 . 即使平均光子能量已经较低，黑体谱高能尾部仍有足够多的光子把新形成的氢原子再次电离。因此要冷却到远低于简单的 13.6 e V / k B 13.6\,\mathrm{eV}/k_B 13.6 eV / k B
6.5 CMB 是什么？
在 photon decoupling 时自由传播出来的光子，经过宇宙膨胀不断 redshift，今天被观测为 Cosmic Microwave Background ：
T t h e n ∼ 3000 K ⟶ T n o w = 2.725 K . T_{\rm then}\sim3000\,\mathrm K
\quad\longrightarrow\quad
T_{\rm now}=2.725\,\mathrm K. T then ∼ 3000 K ⟶ T now = 2.725 K . CMB 是我们能直接看到的最早电磁“照片”，其微小 anisotropies 满足
Δ T T ∼ 10 − 5 . \frac{\Delta T}{T}\sim10^{-5}. T Δ T ∼ 1 0 − 5 . 温度涨落与物质密度扰动有关，但两者并非在任何尺度上都可以简单地逐点写成 Δ T / T = δ \Delta T/T=\delta Δ T / T = δ
6.6 Dark Ages
Recombination 后：
宇宙大部分氢变为中性；
CMB 光子已经自由传播；
第一批恒星尚未形成。
因此这段缺乏新生恒星光源的时期称为 Cosmic Dark Ages 。暗物质结构仍在引力作用下增长，普通气体也逐渐落入势阱，为 Cosmic Dawn 作准备。
7. Density contrast 与结构形成
7.1 Density contrast δ \delta δ
Density contrast（密度对比度）定义为
δ ( x , t ) ≡ ρ ( x , t ) − ρ ˉ ( t ) ρ ˉ ( t ) . \boxed{\delta(\mathbf{x},t)
\equiv\frac{\rho(\mathbf{x},t)-\bar\rho(t)}{\bar\rho(t)}}. δ ( x , t ) ≡ ρ ˉ ( t ) ρ ( x , t ) − ρ ˉ ( t ) . 其中：
ρ ( x , t ) \rho(\mathbf{x},t) ρ ( x , t ) ρ ˉ ( t ) \bar\rho(t) ρ ˉ ( t )
其含义是：
δ = 0 \delta=0 δ = 0 δ > 0 \delta>0 δ > 0 δ < 0 \delta<0 δ < 0 物理密度不能为负，因此 δ ≥ − 1 \delta\ge-1 δ ≥ − 1
例如，若
ρ = 1.1 ρ ˉ , \rho=1.1\bar\rho, ρ = 1.1 ρ ˉ , 则
δ = 0.1 , \delta=0.1, δ = 0.1 , 表示局部密度高于平均值 10%。若 δ = 1 \delta=1 δ = 1
ρ = 2 ρ ˉ , \rho=2\bar\rho, ρ = 2 ρ ˉ , 而不是 ρ = ρ ˉ \rho=\bar\rho ρ = ρ ˉ
7.2 Linear 与 nonlinear evolution
早期扰动很小：
∣ δ ∣ ≪ 1. |\delta|\ll1. ∣ δ ∣ ≪ 1. 这时不同 Fourier modes 可以在线性理论中分别演化，称为 linear perturbation theory。Overdense region 通过引力吸积更多物质，使 δ \delta δ
当
δ ∼ 1 \boxed{\delta\sim1} δ ∼ 1 时，局部密度偏离平均值已达到同一量级，小扰动近似失效，系统进入 nonlinear structure formation。随后会出现 collapse、shell crossing、virialization 和复杂的 merger / accretion。
一个便于记忆但需保持物理谨慎的概括是：
∣ δ ∣ ≪ 1 : linear perturbations , δ ∼ 1 : nonlinear evolution begins , δ ≫ 1 : strongly collapsed overdense structures . \begin{aligned}
|\delta|\ll1 &: \text{linear perturbations},\\
\delta\sim1 &: \text{nonlinear evolution begins},\\
\delta\gg1 &: \text{strongly collapsed overdense structures}.
\end{aligned} ∣ δ ∣ ≪ 1 δ ∼ 1 δ ≫ 1 : linear perturbations , : nonlinear evolution begins , : strongly collapsed overdense structures . Filament 各处的 overdensity 可以差异很大，不能机械地认为所有 filament 都必须满足同一个 δ \delta δ
7.3 为什么 dark matter 先搭起结构骨架？
Recombination 前，baryons 与 photons 紧密耦合，radiation pressure 阻碍普通物质在小尺度上自由坍缩。Cold dark matter 不受这种 photon pressure 影响，因此能更早建立 gravitational potential wells。
Recombination 后，baryons 与 radiation decouple，气体更容易落入已经存在的暗物质势阱：
dark matter builds the gravitational skeleton first; baryons later form the luminous galaxy. \boxed{
\text{dark matter builds the gravitational skeleton first;}
\quad
\text{baryons later form the luminous galaxy.}
} dark matter builds the gravitational skeleton first; baryons later form the luminous galaxy. 7.4 Cosmic web 与 filaments
大尺度物质分布不是均匀散落的孤立星系，而是三维 cosmic web。常用四类几何环境描述：
voids → sheets → filaments → nodes . \text{voids}\rightarrow\text{sheets}\rightarrow\text{filaments}\rightarrow\text{nodes}. voids → sheets → filaments → nodes .
void： 低密度空洞；sheet： 片状 overdensity；filament： 细长、丝状的物质 overdensity；node： 多条 filament 的交汇处，常对应 massive halo、group 或 cluster。
Filament 不只是“星系排成一条线”。它包含：
主要贡献质量的 dark matter；
diffuse gas；
galaxies 和 galaxy groups；
沿 filament 向 nodes 流动的物质。
更准确的表述是
filament is an elongated matter overdensity in the cosmic web . \boxed{\text{filament is an elongated matter overdensity in the cosmic web}.} filament is an elongated matter overdensity in the cosmic web . 7.5 为什么会形成 sheets、filaments 和 nodes？
初始扰动并非完美球对称，引力坍缩会沿不同主轴以不同速度发生。直观图景是：
3D overdense region → collapse along one axis: sheet → second axis: filament → third axis: node / halo . \boxed{
\text{3D overdense region}
\rightarrow\text{collapse along one axis: sheet}
\rightarrow\text{second axis: filament}
\rightarrow\text{third axis: node / halo}.
} 3D overdense region → collapse along one axis: sheet → second axis: filament → third axis: node / halo . 这解释了为什么 nonlinear gravitational evolution 自然产生一张网，而不是立即把所有物质变成彼此孤立的球。
在 Λ \Lambda Λ
8. Dark matter halo：星系所在的隐形引力势阱
Dark matter halo 不是把星系包在里面的一层实心外壳，而是一个 extended、gravitationally bound 的暗物质分布。其密度通常中心较高、向外下降，并没有锋利的物理边界。
最有用的直觉是
dark matter halo = the invisible gravitational potential well that hosts a galaxy . \boxed{\text{dark matter halo = the invisible gravitational potential well that hosts a galaxy}.} dark matter halo = the invisible gravitational potential well that hosts a galaxy . 气体落入势阱后可能经历：
infall → compression / shocks → radiative cooling → further collapse → star formation . \text{infall}
\rightarrow\text{compression / shocks}
\rightarrow\text{radiative cooling}
\rightarrow\text{further collapse}
\rightarrow\text{star formation}. infall → compression / shocks → radiative cooling → further collapse → star formation . 一个大 halo 可以包含 central galaxy、satellite galaxies、subhalos 和大量 CGM；因此“一个 halo 等于一个 galaxy”不是普遍正确的说法。
8.1 Virialization
坍缩后的引力束缚系统不会要求每个粒子静止，而会趋向统计意义上的 dynamical equilibrium。Virial theorem 近似写作
2 K + U ≃ 0 , \boxed{2K+U\simeq0}, 2 K + U ≃ 0 , 其中 K K K U U U
8.2 为什么 halo radius 是人为定义的？
由于 halo 密度剖面平滑延伸、没有明确边缘，天文学家用 spherical-overdensity convention 定义一个操作性的半径：
ρ ˉ ( < R Δ ) = Δ ρ r e f ( z ) . \boxed{
\bar\rho(<R_\Delta)=\Delta\rho_{\rm ref}(z).
} ρ ˉ ( < R Δ ) = Δ ρ ref ( z ) . 相应质量为
M Δ = 4 π 3 R Δ 3 Δ ρ r e f ( z ) . \boxed{
M_\Delta=\frac{4\pi}{3}R_\Delta^3\Delta\rho_{\rm ref}(z).
} M Δ = 3 4 π R Δ 3 Δ ρ ref ( z ) . 其中 Δ \Delta Δ ρ r e f \rho_{\rm ref} ρ ref
8.3 M v i r M_{\rm vir} M vir R v i r R_{\rm vir} R vir V v i r V_{\rm vir} V vir
Virial radius R v i r R_{\rm vir} R vir
通常定义为平均内部密度达到某个 virial overdensity threshold 的半径：
ρ ˉ ( < R v i r ) = Δ v i r ( z ) ρ r e f ( z ) . \bar\rho(<R_{\rm vir})
=\Delta_{\rm vir}(z)\rho_{\rm ref}(z). ρ ˉ ( < R vir ) = Δ vir ( z ) ρ ref ( z ) . R v i r R_{\rm vir} R vir
Virial mass M v i r M_{\rm vir} M vir
M v i r = 4 π 3 R v i r 3 Δ v i r ( z ) ρ r e f ( z ) . \boxed{
M_{\rm vir}
=\frac{4\pi}{3}R_{\rm vir}^3
\Delta_{\rm vir}(z)\rho_{\rm ref}(z).
} M vir = 3 4 π R vir 3 Δ vir ( z ) ρ ref ( z ) . 它表示 R v i r R_{\rm vir} R vir
Virial velocity V v i r V_{\rm vir} V vir
V v i r = G M v i r R v i r . \boxed{
V_{\rm vir}=\sqrt{\frac{GM_{\rm vir}}{R_{\rm vir}}}.
} V vir = R vir G M vir . 它是 halo 势阱深度对应的典型 circular / gravitational velocity scale。由此可以定义近似 virial temperature：
T v i r ∼ μ m p V v i r 2 2 k B , \boxed{
T_{\rm vir}\sim\frac{\mu m_pV_{\rm vir}^2}{2k_B},
} T vir ∼ 2 k B μ m p V vir 2 , 其中 μ \mu μ V v i r V_{\rm vir} V vir
8.4 M 200 M_{200} M 200 R 200 R_{200} R 200
“200”是一种常见但不是唯一的 overdensity convention。必须进一步说明参考密度。
200 c 200c 200 c ρ ˉ ( < R 200 c ) = 200 ρ c ( z ) \boxed{
\bar\rho(<R_{200c})=200\rho_c(z)
} ρ ˉ ( < R 200 c ) = 200 ρ c ( z ) M 200 c = 4 π 3 R 200 c 3 200 ρ c ( z ) . \boxed{
M_{200c}
=\frac{4\pi}{3}R_{200c}^3\,200\rho_c(z).
} M 200 c = 3 4 π R 200 c 3 200 ρ c ( z ) . 200 m 200m 200 m ρ ˉ ( < R 200 m ) = 200 ρ ˉ m ( z ) \boxed{
\bar\rho(<R_{200m})=200\bar\rho_m(z)
} ρ ˉ ( < R 200 m ) = 200 ρ ˉ m ( z ) M 200 m = 4 π 3 R 200 m 3 200 ρ ˉ m ( z ) . \boxed{
M_{200m}
=\frac{4\pi}{3}R_{200m}^3\,200\bar\rho_m(z).
} M 200 m = 3 4 π R 200 m 3 200 ρ ˉ m ( z ) . 由于
ρ ˉ m ( z ) = Ω m ( z ) ρ c ( z ) , \bar\rho_m(z)=\Omega_m(z)\rho_c(z), ρ ˉ m ( z ) = Ω m ( z ) ρ c ( z ) , 除非 Ω m ( z ) = 1 \Omega_m(z)=1 Ω m ( z ) = 1 R 200 c R_{200c} R 200 c R 200 m R_{200m} R 200 m M 200 c M_{200c} M 200 c M 200 m M_{200m} M 200 m M 200 M_{200} M 200 c c c m m m
在 Einstein–de Sitter universe 的 spherical-collapse 模型中，经典 virial overdensity 为
Δ v i r = 18 π 2 ≃ 178. \Delta_{\rm vir}=18\pi^2\simeq178. Δ vir = 18 π 2 ≃ 178. 因此 200 是一个方便且接近该量级的常用选择，但 M v i r M_{\rm vir} M vir M 200 c M_{200c} M 200 c M 200 m M_{200m} M 200 m
对于 200 c 200c 200 c ρ c = 3 H 2 / ( 8 π G ) \rho_c=3H^2/(8\pi G) ρ c = 3 H 2 / ( 8 π G )
M 200 c = 100 H ( z ) 2 G R 200 c 3 , M_{200c}=\frac{100H(z)^2}{G}R_{200c}^3, M 200 c = G 100 H ( z ) 2 R 200 c 3 , 所以
V 200 c = G M 200 c R 200 c = 10 H ( z ) R 200 c . V_{200c}=\sqrt{\frac{GM_{200c}}{R_{200c}}}
=10H(z)R_{200c}. V 200 c = R 200 c G M 200 c = 10 H ( z ) R 200 c . 这再次显示：halo 的“边界”和由其定义的质量会随 reference density 和 redshift 改变。
8.5 Halo 怎样长大并影响星系？
Halo growth 包含：
mergers + smooth accretion . \boxed{\text{mergers}+\text{smooth accretion}.} mergers + smooth accretion . 物质沿 cosmic filaments 流向 nodes 和 halos。Halo mass 会影响：
gas accretion；
virial temperature；
cooling efficiency；
是否能留住受到 feedback 加速的气体；
star formation efficiency；
satellite abundance。
小 halo 势阱浅，stellar feedback 和 reionization 更容易移除或加热气体；极大 halo 的气体又可能被加热到高温而难以快速冷却。可见星系只是整个 halo 质量分布中集中在中心的一小部分。
9. IGM、CGM 与 ISM：气体在哪里？
这三个缩写描述的不是三种完全不同的物质，而是 baryonic gas 所处的不同环境与尺度。
名称 全称 典型位置 主要角色 ISM interstellar medium 星系内部、恒星之间 分子云、原子气体、电离气体和尘埃；直接形成恒星并接受恒星反馈 CGM circumgalactic medium 星系外、halo 内，约延伸到 virial radius 附近 连接星系与宇宙网；储存、加热、冷却、回收 inflow / outflow gas IGM intergalactic medium 星系与 halos 之间的大尺度空间 宇宙大部分普通物质的重要储库；沿 cosmic web 分布；受再电离和星系外流影响
概念图可以写成
cosmic web / IGM ↔ halo / CGM ↔ galaxy / ISM ↔ stars . \boxed{
\text{cosmic web / IGM}
\leftrightarrow
\text{halo / CGM}
\leftrightarrow
\text{galaxy / ISM}
\leftrightarrow
\text{stars}.
} cosmic web / IGM ↔ halo / CGM ↔ galaxy / ISM ↔ stars . 边界不是完全锋利的，尤其 CGM 与 IGM 的操作性区分会依赖 halo 定义和观测方法。
气体循环包括：
IGM gas 沿 filament accrete 到 halo；
进入 CGM 后被 shock-heated、混合或冷却；
一部分进入 ISM 并形成恒星；
stellar / AGN feedback 把能量、动量和金属送回 ISM、CGM，甚至 IGM；
部分外流气体随后又 recycled 回星系。
因此 galaxy formation 是一个开放的 baryon cycle，而不是一次性把气体关进星系的过程。
10. Cosmic Dawn 与 Pop III
10.1 Cosmic Dawn 是什么？
**Cosmic Dawn（宇宙黎明）**是 Dark Ages 之后第一批发光天体出现的时代。最清楚的顺序是
CMB → Dark Ages → Cosmic Dawn → reionization . \boxed{
\text{CMB}
\rightarrow\text{Dark Ages}
\rightarrow\text{Cosmic Dawn}
\rightarrow\text{reionization}.
} CMB → Dark Ages → Cosmic Dawn → reionization . Cosmic Dawn 强调的是
first luminous objects appear , \boxed{\text{first luminous objects appear},} first luminous objects appear , 而 reionization 强调的是
the neutral IGM becomes ionized . \boxed{\text{the neutral IGM becomes ionized}.} the neutral IGM becomes ionized . 两者相互重叠，但不是同义词。Cosmic Dawn 期间发生：
第一代恒星形成；
最早星系开始组装；
可能形成第一批 black-hole seeds；
UV 与 X-ray 辐射场出现；
局部 ionized bubbles 产生；
第一批重元素被恒星和超新星制造并扩散。
10.2 Pop III 是什么？
Population III 指由接近 primordial、几乎无金属的气体形成的第一代恒星：
Pop III stars = first, nearly metal-free stellar populations . \boxed{\text{Pop III stars = first, nearly metal-free stellar populations}.} Pop III stars = first, nearly metal-free stellar populations . “Metal” 在天文学中指比 He 更重的所有元素。BBN 只提供 H、He 和痕量 Li，因此 Pop III 的母体气体缺少今天分子云中的 C、O、CO 和 dust cooling。
Primordial gas 的关键冷却剂之一是 H 2 \mathrm H_2 H 2
Jeans mass 的量级关系为
M J ∝ T 3 / 2 ρ − 1 / 2 . M_J\propto T^{3/2}\rho^{-1/2}. M J ∝ T 3/2 ρ − 1/2 . 在相同密度下，更高温度意味着更大的特征坍缩质量。由于 primordial gas 冷却通常不如富金属气体高效，Pop III 常被预期具有偏大的 characteristic mass。但现代模拟会产生 fragmentation 和 multiple systems，因此不应把“所有 Pop III 都是同一个极大质量”当作确定事实。
11. Feedback：恒星形成如何反过来调节星系？
Feedback 指已形成的恒星或 accreting black holes 向周围气体注入能量、动量、辐射或新合成元素，从而改变后续 gas cooling、collapse 和 star formation。
11.1 Mechanical feedback
来源包括：
stellar winds；
supernova explosions；
radiation-driven winds；
AGN winds 和 jets。
它们向气体注入 energy 和 momentum，可导致：
turbulent stirring；
gas heating；
superbubbles 和 galactic winds；
暂时压低 star formation；
将气体和金属送入 CGM / IGM。
11.2 Chemical feedback
恒星核合成和超新星制造 C、O、Fe 等重元素，并把它们送回环境，使 metallicity 从近似零变为
Z > 0. Z>0. Z > 0. 金属线和 dust 通常增强低温气体冷却，改变 fragmentation 和下一代恒星的质量分布。因此第一代恒星会推动
Pop III → metal-enriched Pop II . \boxed{\text{Pop III}\rightarrow\text{metal-enriched Pop II}.} Pop III → metal-enriched Pop II . 11.3 Radiative feedback
恒星和黑洞产生 UV、ionizing photons、Lyman–Werner photons 和 X-rays，可：
photoionize H / He；
photoheat gas；
改变气体 cooling 和 collapse；
dissociate H 2 \mathrm H_2 H 2
形成并扩大 H II regions；
推动宇宙再电离。
Feedback 并不永远只有“抑制”作用。压缩气体、增加自由电子以促进某些分子反应、或提高后续冷却能力时，也可能间接促进局部 star formation。实际净效应取决于 halo mass、gas density、metallicity、radiation spectrum 和时间尺度。
12. Reionization：宇宙为何被“再次电离”？
Recombination 后 IGM 主要为中性氢。第一批恒星、星系和 accreting black holes 出现后，发出能量高于氢电离阈值 13.6 e V 13.6\,\mathrm{eV} 13.6 eV
H I + γ → H I I + e − . \mathrm{H\,I}+\gamma\rightarrow\mathrm{H\,II}+e^-. H I + γ → H II + e − . 每个光源周围先形成 ionized bubble。随着光源数目和累计光子数增加，bubbles 长大并相互重叠，最终让大部分 IGM 中的氢重新电离：
first sources → ionized bubbles → bubble growth and overlap → ionized IGM . \boxed{
\text{first sources}
\rightarrow\text{ionized bubbles}
\rightarrow\text{bubble growth and overlap}
\rightarrow\text{ionized IGM}.
} first sources → ionized bubbles → bubble growth and overlap → ionized IGM . 为什么叫“re-ionization”？因为宇宙在 recombination 以前本来就是 ionized plasma；先 recombine 成中性，后来又被第一批光源电离。
Hydrogen reionization 通常认为到 z ∼ 5 z\sim5 z ∼ 5 6 6 6 z ∼ 3 z\sim3 z ∼ 3
Reionization 也会反过来影响星系形成。Photoheating 提高 IGM 温度和 Jeans / filtering scale，使浅势阱小 halos 更难吸积和保留气体。这就是从 luminous sources 到后续 galaxy formation 的大尺度 radiative feedback。
13. Cosmic star formation history
Cosmic star formation history 常用 cosmic star-formation-rate density（SFRD）表示：
ρ S F R ≡ 单位时间新形成的恒星质量 单位 comoving volume . \rho_{\rm SFR}
\equiv
\frac{\text{单位时间新形成的恒星质量}}
{\text{单位 comoving volume}}. ρ SFR ≡ 单位 comoving volume 单位时间新形成的恒星质量 . 其典型趋势是：
Cosmic Dawn 时，第一批恒星和星系出现，SFRD 从很低的水平上升；
随 halo abundance、gas accretion 和 galaxy assembly 增加，SFRD 持续上升；
在 z ∼ 2 z\sim2 z ∼ 2 cosmic noon ；
从 z ∼ 2 z\sim2 z ∼ 2
晚期下降不是由单一机制导致，而可能共同涉及：
宇宙平均 gas accretion rate 下降；
gas consumption；
stellar 和 AGN feedback；
virial shock heating；
massive systems 中 cooling 变慢；
environmental effects。
“SFRD 在 z ∼ 2 z\sim2 z ∼ 2
13.1 Comoving volume 为什么重要？
若使用 physical volume，单纯的宇宙膨胀就会让固定数量天体的单位物理体积密度随 a − 3 a^{-3} a − 3
14. 把所有概念连成一条因果链
14.1 从 inflation 到结构种子
quantum fluctuations → i n f l a t i o n large-scale primordial perturbations → Δ T T ∼ 10 − 5 in the CMB . \text{quantum fluctuations}
\xrightarrow{\rm inflation}
\text{large-scale primordial perturbations}
\rightarrow
\frac{\Delta T}{T}\sim10^{-5}\text{ in the CMB}. quantum fluctuations inflation large-scale primordial perturbations → T Δ T ∼ 1 0 − 5 in the CMB . 14.2 从背景膨胀到结构增长
ρ r ∝ a − 4 , ρ m ∝ a − 3 \rho_r\propto a^{-4},\qquad
\rho_m\propto a^{-3} ρ r ∝ a − 4 , ρ m ∝ a − 3 ⇓ \Downarrow ⇓ radiation domination → z e q ∼ 3400 → matter domination → δ grows . \text{radiation domination}
\rightarrow z_{\rm eq}\sim3400
\rightarrow\text{matter domination}
\rightarrow\delta\text{ grows}. radiation domination → z eq ∼ 3400 → matter domination → δ grows . 14.3 从线性扰动到 cosmic web
∣ δ ∣ ≪ 1 → δ ∼ 1 → nonlinear collapse → sheets + filaments + halos . |\delta|\ll1
\rightarrow\delta\sim1
\rightarrow\text{nonlinear collapse}
\rightarrow\text{sheets + filaments + halos}. ∣ δ ∣ ≪ 1 → δ ∼ 1 → nonlinear collapse → sheets + filaments + halos . 14.4 从 halo 到 luminous galaxy
DM halo → gas infall → cooling → stars → feedback → regulated galaxy growth . \text{DM halo}
\rightarrow\text{gas infall}
\rightarrow\text{cooling}
\rightarrow\text{stars}
\rightarrow\text{feedback}
\rightarrow\text{regulated galaxy growth}. DM halo → gas infall → cooling → stars → feedback → regulated galaxy growth . 14.5 从第一批恒星到再电离
Pop III / first galaxies → UV photons + metals + supernovae → ionized bubbles and enrichment → reionized IGM . \text{Pop III / first galaxies}
\rightarrow\text{UV photons + metals + supernovae}
\rightarrow\text{ionized bubbles and enrichment}
\rightarrow\text{reionized IGM}. Pop III / first galaxies → UV photons + metals + supernovae → ionized bubbles and enrichment → reionized IGM . 这条链概括了第一讲的核心思想：
宇宙背景决定结构何时能增长； 暗物质决定引力骨架； baryonic physics 决定发光星系如何形成。 \boxed{
\text{宇宙背景决定结构何时能增长；}
\quad
\text{暗物质决定引力骨架；}
\quad
\text{baryonic physics 决定发光星系如何形成。}
} 宇宙背景决定结构何时能增长； 暗物质决定引力骨架； baryonic physics 决定发光星系如何形成。 15. 高频易混点
15.1 BBN vs recombination
BBN：形成轻元素原子核 ，发生在最初几分钟；
recombination：电子与原子核形成中性原子 ，发生在约 38 万年后。
15.2 Recombination vs reionization
recombination：早期 plasma 变得大部分中性；
reionization：第一批光源把中性 IGM 再次电离。
15.3 Matter-radiation equality vs recombination
equality：ρ m = ρ r \rho_m=\rho_r ρ m = ρ r z ∼ 3400 z\sim3400 z ∼ 3400
recombination：中性原子形成，约 z ∼ 1100 z\sim1100 z ∼ 1100
15.4 Photon energy vs radiation energy density
单个光子：E γ ∝ a − 1 E_\gamma\propto a^{-1} E γ ∝ a − 1
photon number density：n γ ∝ a − 3 n_\gamma\propto a^{-3} n γ ∝ a − 3
radiation energy density：ρ r ∝ a − 4 \rho_r\propto a^{-4} ρ r ∝ a − 4
15.5 Critical density vs matter density
ρ c ( z ) = 3 H ( z ) 2 / ( 8 π G ) \rho_c(z)=3H(z)^2/(8\pi G) ρ c ( z ) = 3 H ( z ) 2 / ( 8 π G ) ρ m ( z ) = Ω m , 0 ρ c , 0 ( 1 + z ) 3 \rho_m(z)=\Omega_{m,0}\rho_{c,0}(1+z)^3 ρ m ( z ) = Ω m , 0 ρ c , 0 ( 1 + z ) 3
15.6 Comoving vs physical scale
comoving：剥离整体宇宙膨胀；
physical：当时实际 proper scale；
R p h y s = R c o m / ( 1 + z ) R_{\rm phys}=R_{\rm com}/(1+z) R phys = R com / ( 1 + z )
15.7 Hubble radius vs particle horizon
Hubble radius：c / H c/H c / H
comoving Hubble radius：c / ( a H ) c/(aH) c / ( a H )
particle horizon：从初始时刻到现在光最多累计传播的距离；
三者相关但不完全相同。
15.8 Cosmic Dawn vs reionization
Cosmic Dawn：第一批 luminous sources 出现；
reionization：这些光源改变中性 IGM 的电离状态；
二者重叠但不等同。
15.9 Halo boundary 不是物理硬边缘
R v i r R_{\rm vir} R vir R 200 c R_{200c} R 200 c R 200 m R_{200m} R 200 m
15.10 δ ∼ 1 \delta\sim1 δ ∼ 1
δ = 1 \delta=1 δ = 1 ρ = 2 ρ ˉ \rho=2\bar\rho ρ = 2 ρ ˉ
16. 公式速查表
膨胀、红移与温度
1 + z = a 0 a , a 0 = 1 , a = 1 1 + z 1+z=\frac{a_0}{a},
\qquad a_0=1,
\qquad a=\frac{1}{1+z} 1 + z = a a 0 , a 0 = 1 , a = 1 + z 1 λ ∝ a , E γ ∝ a − 1 , T γ ( z ) = T C M B , 0 ( 1 + z ) \lambda\propto a,
\qquad
E_\gamma\propto a^{-1},
\qquad
T_\gamma(z)=T_{\rm CMB,0}(1+z) λ ∝ a , E γ ∝ a − 1 , T γ ( z ) = T CMB , 0 ( 1 + z ) ρ r ∝ a − 4 , ρ m ∝ a − 3 , ρ Λ = c o n s t a n t \rho_r\propto a^{-4},
\qquad
\rho_m\propto a^{-3},
\qquad
\rho_\Lambda=\mathrm{constant} ρ r ∝ a − 4 , ρ m ∝ a − 3 , ρ Λ = constant Comoving 与 physical
D p h y s = a χ , R p h y s ( z ) = R c o m 1 + z D_{\rm phys}=a\chi,
\qquad
R_{\rm phys}(z)=\frac{R_{\rm com}}{1+z} D phys = a χ , R phys ( z ) = 1 + z R com Hubble expansion 与 critical density
H = a ˙ a H=\frac{\dot a}{a} H = a a ˙ H ( z ) = H 0 Ω r , 0 ( 1 + z ) 4 + Ω m , 0 ( 1 + z ) 3 + Ω k , 0 ( 1 + z ) 2 + Ω Λ , 0 H(z)=H_0\sqrt{
\Omega_{r,0}(1+z)^4+
\Omega_{m,0}(1+z)^3+
\Omega_{k,0}(1+z)^2+
\Omega_{\Lambda,0}} H ( z ) = H 0 Ω r , 0 ( 1 + z ) 4 + Ω m , 0 ( 1 + z ) 3 + Ω k , 0 ( 1 + z ) 2 + Ω Λ , 0 ρ c ( z ) = 3 H ( z ) 2 8 π G \rho_c(z)=\frac{3H(z)^2}{8\pi G} ρ c ( z ) = 8 π G 3 H ( z ) 2 ρ m ( z ) = Ω m , 0 ρ c , 0 ( 1 + z ) 3 \rho_m(z)=\Omega_{m,0}\rho_{c,0}(1+z)^3 ρ m ( z ) = Ω m , 0 ρ c , 0 ( 1 + z ) 3 Inflation 与 Hubble radius
R H = c H , r H = c a H R_H=\frac{c}{H},
\qquad
r_H=\frac{c}{aH} R H = H c , r H = a H c a ¨ > 0 ⟺ d d t ( a H ) − 1 < 0 \ddot a>0
\quad\Longleftrightarrow\quad
\frac{d}{dt}(aH)^{-1}<0 a ¨ > 0 ⟺ d t d ( a H ) − 1 < 0 Ω − 1 = k c 2 a 2 H 2 \Omega-1=\frac{kc^2}{a^2H^2} Ω − 1 = a 2 H 2 k c 2 BBN helium fraction
r = n n n p , Y p ≃ 2 r 1 + r r=\frac{n_n}{n_p},
\qquad
Y_p\simeq\frac{2r}{1+r} r = n p n n , Y p ≃ 1 + r 2 r Density perturbations
δ = ρ − ρ ˉ ρ ˉ \delta=\frac{\rho-\bar\rho}{\bar\rho} δ = ρ ˉ ρ − ρ ˉ Halo definitions
ρ ˉ ( < R Δ ) = Δ ρ r e f ( z ) \bar\rho(<R_\Delta)=\Delta\rho_{\rm ref}(z) ρ ˉ ( < R Δ ) = Δ ρ ref ( z ) M Δ = 4 π 3 R Δ 3 Δ ρ r e f ( z ) M_\Delta=\frac{4\pi}{3}R_\Delta^3\Delta\rho_{\rm ref}(z) M Δ = 3 4 π R Δ 3 Δ ρ ref ( z ) V v i r = G M v i r R v i r V_{\rm vir}=\sqrt{\frac{GM_{\rm vir}}{R_{\rm vir}}} V vir = R vir G M vir T v i r ∼ μ m p V v i r 2 2 k B T_{\rm vir}\sim\frac{\mu m_pV_{\rm vir}^2}{2k_B} T vir ∼ 2 k B μ m p V vir 2 17. 中英术语表
English 中文解释 scale factor 尺度因子，描述宇宙整体尺度 redshift 红移；宇宙膨胀使光波长变长 comoving scale 随宇宙膨胀坐标网格固定的尺度 physical / proper scale 某一时刻的实际物理尺度 critical density 临界密度，由当时 H ( z ) H(z) H ( z ) inflation 暴胀，极早期加速膨胀阶段 horizon problem 视界问题 flatness problem 平坦性问题 monopole problem 磁单极子问题 Hubble radius 哈勃半径 c / H c/H c / H Big Bang Nucleosynthesis 大爆炸核合成 deuterium bottleneck 氘瓶颈 matter-radiation equality 物质-辐射等密度时刻 recombination 电子与原子核结合、中性原子大量形成 photon decoupling 光子退耦，光开始自由传播 Cosmic Microwave Background 宇宙微波背景 density contrast 密度对比度 δ \delta δ nonlinear structure formation 非线性结构形成 cosmic web 宇宙网 filament 宇宙网中的丝状 overdensity dark matter halo 暗物质晕；星系所在的引力势阱 virialization 维里化；达到统计动力学平衡 IGM 星系际介质 CGM 星系周介质 ISM 星系内部的星际介质 Dark Ages 黑暗时代 Cosmic Dawn 宇宙黎明，第一批发光天体出现的阶段 Population III 几乎无金属的第一代恒星 feedback 天体对周围气体的能量、动量、辐射和化学回馈 reionization 再电离 cosmic star-formation-rate density 宇宙恒星形成率密度，通常按 comoving volume 定义
18. 一页式总结
红移与尺度因子满足 1 + z = a 0 / a 1+z=a_0/a 1 + z = a 0 / a z z z a a a
单光子能量 E γ ∝ a − 1 E_\gamma\propto a^{-1} E γ ∝ a − 1 ρ r ∝ a − 4 \rho_r\propto a^{-4} ρ r ∝ a − 4 ρ m ∝ a − 3 \rho_m\propto a^{-3} ρ m ∝ a − 3
Inflation 的核心是 a ¨ > 0 \ddot a>0 a ¨ > 0 ( a H ) − 1 (aH)^{-1} ( a H ) − 1
BBN 在最初几分钟合成轻元素原子核；n / p ∼ 1 / 7 n/p\sim1/7 n / p ∼ 1/7 4 ^4 4
z e q ∼ 3400 z_{\rm eq}\sim3400 z eq ∼ 3400 z ∼ 1100 z\sim1100 z ∼ 1100 Density contrast δ = ( ρ − ρ ˉ ) / ρ ˉ \delta=(\rho-\bar\rho)/\bar\rho δ = ( ρ − ρ ˉ ) / ρ ˉ δ ∼ 1 \delta\sim1 δ ∼ 1
各向异性坍缩形成 sheets、filaments 和 nodes；暗物质 halos 构成星系形成的引力骨架。
Halo 没有硬边缘；M v i r M_{\rm vir} M vir M 200 c M_{200c} M 200 c M 200 m M_{200m} M 200 m
IGM、CGM 和 ISM 通过 inflow、cooling、star formation、outflow 和 recycling 连成 baryon cycle。
Cosmic Dawn 是第一批恒星与星系点亮宇宙的时期；Pop III 的辐射、超新星和金属增丰开启 feedback，并推动再电离。
Cosmic SFRD 在 z ∼ 2 z\sim2 z ∼ 2
本题的平坦 Λ \Lambda Λ H ( 10 ) = 20 H 0 H(10)=20H_0 H ( 10 ) = 20 H 0 ρ c ( 10 ) = 400 ρ c , 0 \rho_c(10)=400\rho_{c,0} ρ c ( 10 ) = 400 ρ c , 0
最终应掌握的总图是：
expanding background → primordial perturbations → dark-matter cosmic web and halos → gas cooling and stars → feedback, reionization, and galaxy evolution . \boxed{
\text{expanding background}
\rightarrow
\text{primordial perturbations}
\rightarrow
\text{dark-matter cosmic web and halos}
\rightarrow
\text{gas cooling and stars}
\rightarrow
\text{feedback, reionization, and galaxy evolution}.
} expanding background → primordial perturbations → dark-matter cosmic web and halos → gas cooling and stars → feedback, reionization, and galaxy evolution .