AST1440 电磁波、冷等离子体色散与脉冲延迟：RL §2.1–2.3、§8.1 及习题 2.2、8.1、8.2 详解

课程：AST1440 — Radiation；本次主题为 Electromagnetic Waves and Dispersion in a Cold Plasma。 教材：Rybicki & Lightman，Radiative Processes in Astrophysics（简称 RL），§2.1–2.3，印刷页 51–61；§8.1，印刷页 224–228；习题 2.2，印刷页 74–75；习题 8.1–8.2，印刷页 236。 整理日期：2026 年 9 月 28 日。 本文按物理依赖关系整合教材阅读、课前习题与讨论中的全部追问：Maxwell 方程的物理意义、真空波动方程怎样得到、为什么 $\partial_t\rightarrow-i\omega$、为什么 $v_{\rm ph}=\omega/k$、短脉冲为何对应宽频谱、经典 Fourier 波与量子力学的联系、电子电流怎样并入介电常数、为什么理想冷等离子体有色散却无耗散、相速度与群速度的区别、脉冲星色散常数 $4.15\,\mathrm{ms}$ 的来源、复折射率如何导致空间衰减，以及折射界面上为什么 $d\phi_1=d\phi_2$。每道指定习题先给中文推导，再给可直接用于作业的英文版本。

目录

1. 本次预习要求与逻辑主线
2. 统一符号、单位、复指数约定与假设
3. Maxwell 方程的物理意义与真空波动方程
4. 平面电磁波、横波结构与相速度
5. 有限脉冲、Fourier 频谱及其与量子力学的联系
6. 自由电子响应、电流与等效介电常数
7. 冷等离子体色散关系、截止与无耗散响应
8. 相速度、群速度与信号传播
9. 脉冲星色散、DM 与数值系数 4.15 ms
10. 习题 2.2：导电介质、复折射率与吸收
11. 习题 8.1：为什么 $I_\nu/n_r^2$ 沿光线守恒
12. 习题 8.2：波包质心为什么以群速度运动
13. English assignment-ready solutions
14. 复习清单、量纲检查与常见混淆
15. 资料与引用

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1. 本次预习要求与逻辑主线

1.1 阅读与习题范围

本次课程从辐射转移转向电磁波在等离子体中的传播。课前要求分为三层：

1. 核心必读是 RL §8.1，主题为冷、各向同性等离子体中的色散。
2. RL §2.1–2.3 是电磁学背景：Maxwell 方程、平面电磁波和辐射频谱。若本科电磁学不熟，应当认真复习，而不是只浏览结论。
3. 指定教材习题是 RL 8.1 和 2.2；RL 8.2 为有时间再做的补充题。

这里的教材习题与正式 Problem Set 1 是两件事。本文只处理上述三道教材习题，不讨论正式 problem set。

1.2 整节内容的物理因果链

这部分不是孤立地记 plasma frequency，而是在回答：自由电子为什么会改变电磁波的传播？

完整逻辑是

$$\boxed{ \text{Maxwell 方程} \longrightarrow \text{真空平面波} \longrightarrow \text{电场驱动自由电子} \longrightarrow \text{电子电流反馈到 Maxwell 方程} }$$ $$\boxed{ \longrightarrow \epsilon(\omega) \longrightarrow \omega^2=\omega_p^2+c^2k^2 \longrightarrow \text{截止、群速度与脉冲延迟} }.$$

本节最重要的五个结论是

$$\boxed{ \omega_p^2=\frac{4\pi n_e e^2}{m_e} } \qquad\text{(Gaussian-cgs)},$$ $$\boxed{ \epsilon(\omega)=1-\frac{\omega_p^2}{\omega^2} },$$ $$\boxed{ \omega^2=\omega_p^2+c^2k^2 },$$ $$\boxed{ v_{\rm ph}=\frac{\omega}{k}, \qquad v_g=\frac{d\omega}{dk} },$$

以及

$$\boxed{ \Delta t\propto\frac{\mathrm{DM}}{\nu^2}, \qquad \mathrm{DM}=\int n_e\,ds }.$$

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2. 统一符号、单位、复指数约定与假设

2.1 符号表

2.2 单位约定

RL 正文使用 Gaussian-cgs units。因此 Maxwell 方程中会出现 $4\pi$ 和 $1/c$，而不会出现 SI 的 $\epsilon_0$ 与 $\mu_0$。

Gaussian-cgs 中

$$\omega_p^2=\frac{4\pi n_e e^2}{m_e}.$$

SI 中同一物理量写成

$$\omega_p^2=\frac{n_e e^2}{m_e\epsilon_0}.$$

两式描述同一物理现象，不能把其中的 $4\pi$ 与 $\epsilon_0$ 混合使用。

2.3 复指数约定

全文采用教材约定

$$\boxed{ e^{i(\mathbf k\cdot\mathbf r-\omega t)} }.$$

因此

$$\boxed{ \nabla\rightarrow i\mathbf k, \qquad \frac{\partial}{\partial t}\rightarrow-i\omega }.$$

这不是量子力学假设，而是复指数求导：

$$\frac{\partial}{\partial t} e^{i(\mathbf k\cdot\mathbf r-\omega t)} =-i\omega e^{i(\mathbf k\cdot\mathbf r-\omega t)}.$$

若改用 $e^{i(\omega t-\mathbf k\cdot\mathbf r)}$，若干虚部的符号会一起改变；只要始终使用同一约定，物理衰减率不变。

2.4 §8.1 的模型假设

• 等离子体由电子和维持整体电中性的离子组成。
• 离子因质量大、在该频率范围内运动慢，对高频电流的贡献忽略。
• 没有外加磁场，因此介质各向同性；Faraday rotation 属于后续 §8.2。
• “冷”表示忽略热运动和压力梯度对色散关系的修正。
• 电子非相对论，磁 Lorentz force 比电力低一阶 $v/c$，在基础推导中忽略。
• 忽略碰撞与辐射阻尼，因此理想模型没有净耗散。
• 介质局部均匀；讨论缓慢变化的介质时使用几何光学近似。

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3. Maxwell 方程的物理意义与真空波动方程

3.1 Lorentz force 与场怎样对物质做功

带电粒子受到

$$\boxed{ \mathbf F=q\left(\mathbf E+\frac{\mathbf v}{c}\times\mathbf B\right) }.$$

对速度点乘：

$$\mathbf v\cdot\mathbf F =q\mathbf v\cdot\mathbf E +\frac{q}{c}\mathbf v\cdot(\mathbf v\times\mathbf B).$$

因为

$$\mathbf v\cdot(\mathbf v\times\mathbf B)=0,$$

所以磁力改变粒子运动方向，却不直接改变粒子动能；场对粒子做功来自电场：

$$\boxed{ \mathbf v\cdot\mathbf F=q\mathbf v\cdot\mathbf E }.$$

连续介质中，单位体积的机械能变化率是 $\mathbf j\cdot\mathbf E$。这将在判断“色散还是耗散”时起决定作用。

3.2 四条 Maxwell 方程的物理意义

Gaussian-cgs 中，一般介质内的 Maxwell 方程为

$$\nabla\cdot\mathbf D=4\pi\rho, \qquad \nabla\cdot\mathbf B=0,$$ $$\nabla\times\mathbf E =-\frac{1}{c}\frac{\partial\mathbf B}{\partial t},$$ $$\nabla\times\mathbf H =\frac{4\pi}{c}\mathbf j +\frac{1}{c}\frac{\partial\mathbf D}{\partial t}.$$

它们分别表示：

1. 电荷是电场通量的源或汇。
2. 没有独立磁单极子，磁场线形成闭合回路。
3. 随时间变化的磁场产生有旋电场，即 Faraday induction。
4. 真实电流和随时间变化的电场都产生有旋磁场。

第四式中的 displacement-current term

$$\frac{1}{c}\frac{\partial\mathbf D}{\partial t}$$

使变化的电场即使在没有真实导电电流的区域也能产生磁场。它既保证电荷守恒，也使真空电磁波成为可能。

3.3 电荷守恒

对 Ampère-Maxwell 方程取散度，利用任意旋度的散度为零：

$$\nabla\cdot(\nabla\times\mathbf H)=0.$$

于是

$$0=\frac{4\pi}{c}\nabla\cdot\mathbf j +\frac{1}{c}\frac{\partial}{\partial t}(\nabla\cdot\mathbf D).$$

再用 $\nabla\cdot\mathbf D=4\pi\rho$：

$$\boxed{ \nabla\cdot\mathbf j+\frac{\partial\rho}{\partial t}=0 }.$$

这就是局域电荷守恒。

3.4 Poynting theorem 与能量流

电磁场能量密度和能流为

$$u_{\rm field} =\frac{1}{8\pi} \left( \epsilon E^2+\frac{B^2}{\mu} \right),$$

这里的简单能量密度表达式假设 $\epsilon$、$\mu$ 不随频率变化且不随时间变化。对后面具有 $\epsilon(\omega)$ 的色散等离子体，介质储能必须与电子动能一起计算，不能机械地只把 $\epsilon(\omega)$ 代入这条静态介质公式。

$$\boxed{ \mathbf S=\frac{c}{4\pi}\mathbf E\times\mathbf H }.$$

Poynting theorem 可写成

$$\frac{\partial u_{\rm field}}{\partial t} +\nabla\cdot\mathbf S =-\mathbf j\cdot\mathbf E.$$

右侧说明场能量减少的部分进入物质机械能或热能；$\mathbf S$ 则描述电磁能量经过单位面积的流率。

3.5 真空无源区域不等于没有场

真空传播区取

$$\rho=0, \qquad \mathbf j=0, \qquad \epsilon=\mu=1.$$

这只表示局部没有电荷和电流源，不表示 $\mathbf E=\mathbf B=0$。光可以由远处的天体或天线产生，再穿过局部无源区域。

Maxwell 方程简化为

$$\nabla\cdot\mathbf E=0, \qquad \nabla\cdot\mathbf B=0,$$ $$\nabla\times\mathbf E =-\frac{1}{c}\frac{\partial\mathbf B}{\partial t}, \qquad \nabla\times\mathbf B =\frac{1}{c}\frac{\partial\mathbf E}{\partial t}.$$

散度为零只表示场没有局部源；横向波完全可以满足这一条件。

3.6 电场波动方程怎样得到

从 Faraday law 开始：

$$\nabla\times\mathbf E =-\frac{1}{c}\frac{\partial\mathbf B}{\partial t}.$$

两边再取旋度：

$$\nabla\times(\nabla\times\mathbf E) =-\frac{1}{c} \frac{\partial}{\partial t} (\nabla\times\mathbf B).$$

代入真空 Ampère-Maxwell law：

$$\nabla\times(\nabla\times\mathbf E) =-\frac{1}{c^2} \frac{\partial^2\mathbf E}{\partial t^2}.$$

使用矢量恒等式

$$\nabla\times(\nabla\times\mathbf E) =\nabla(\nabla\cdot\mathbf E)-\nabla^2\mathbf E.$$

真空无源区域 $\nabla\cdot\mathbf E=0$，因此

$$-\nabla^2\mathbf E =-\frac{1}{c^2} \frac{\partial^2\mathbf E}{\partial t^2}.$$

最终得到

$$\boxed{ \nabla^2\mathbf E -\frac{1}{c^2} \frac{\partial^2\mathbf E}{\partial t^2}=0 }.$$

同样从 Ampère-Maxwell law 出发，可得

$$\boxed{ \nabla^2\mathbf B -\frac{1}{c^2} \frac{\partial^2\mathbf B}{\partial t^2}=0 }.$$

这两式说明变化的电场与磁场互相耦合，并以速度 $c$ 传播；能量来自最初产生波的源，并通过 Poynting flux 向外输运，不是场在传播中凭空创造能量。

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4. 平面电磁波、横波结构与相速度

4.1 平面波与微分算符

取

$$\mathbf E =\hat{\mathbf e}_1 E_0 e^{i(\mathbf k\cdot\mathbf r-\omega t)},$$ $$\mathbf B =\hat{\mathbf e}_2 B_0 e^{i(\mathbf k\cdot\mathbf r-\omega t)}.$$

复指数的实部才是物理场。使用复数的好处是微分只需乘常数：

$$\nabla\mathbf E=i\mathbf k\mathbf E, \qquad \frac{\partial\mathbf E}{\partial t}=-i\omega\mathbf E.$$

求导相当于把正弦振荡的相位转动 $90^\circ$；复数中的乘法因子 $i$ 正好记录这一相位差。

4.2 为什么电磁波是横波

真空 Gauss laws 给出

$$i\mathbf k\cdot\mathbf E=0, \qquad i\mathbf k\cdot\mathbf B=0.$$

所以

$$\boxed{ \mathbf k\cdot\mathbf E=0, \qquad \mathbf k\cdot\mathbf B=0 }.$$

Faraday law 进一步给出

$$\mathbf k\times\mathbf E =\frac{\omega}{c}\mathbf B.$$

因此 $\mathbf E$、$\mathbf B$ 与 $\mathbf k$ 两两垂直，并组成右手系：

$$\boxed{ \mathbf E\perp\mathbf B\perp\mathbf k }.$$

4.3 真空 dispersion relation

把平面波代入波动方程：

$$\nabla^2\mathbf E=-k^2\mathbf E, \qquad \frac{\partial^2\mathbf E}{\partial t^2} =-\omega^2\mathbf E.$$

因此

$$-k^2\mathbf E +\frac{\omega^2}{c^2}\mathbf E=0.$$

非零解要求

$$\boxed{ \omega^2=c^2k^2 },$$

取正频率与正波数即

$$\boxed{ \omega=ck }.$$

Gaussian units 中还得到

$$\boxed{E_0=B_0}.$$

在 SI 中则是 $E_0=cB_0$；这只是单位定义不同。

4.4 为什么相速度是 $\omega/k$

一维波的相位为

$$\Phi(x,t)=kx-\omega t.$$

跟踪一个波峰，就是保持相位不变：

$$kx-\omega t=\mathrm{constant}.$$

对时间求导：

$$k\frac{dx}{dt}-\omega=0.$$

所以固定相位的速度是

$$\boxed{ v_{\rm ph}=\frac{dx}{dt}=\frac{\omega}{k} }.$$

也可由 $k=2\pi/\lambda$、$\omega=2\pi/T$ 看出

$$\frac{\omega}{k}=\frac{\lambda}{T}=\lambda\nu.$$

真空中 $\omega=ck$，因此

$$\boxed{v_{\rm ph}=c}.$$

4.5 时间平均能流与能量密度

对单色平面波，教材使用复振幅求时间平均：

$$\langle\mathbf S\rangle =\frac{c}{8\pi} \operatorname{Re}(\mathbf E_0\times\mathbf B_0^*).$$

真空中 $E_0=B_0$，所以

$$\langle S\rangle =\frac{c}{8\pi}|E_0|^2 =\frac{c}{8\pi}|B_0|^2.$$

平均能量密度为

$$\langle u\rangle =\frac{1}{8\pi}|E_0|^2,$$

因此

$$\frac{\langle S\rangle}{\langle u\rangle}=c.$$

真空中能量传播速度、相速度和后面定义的群速度都等于 $c$。

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5. 有限脉冲、Fourier 频谱及其与量子力学的联系

5.1 有限脉冲必须包含多个频率

严格单频波

$$E(t)=E_0\cos\omega_0t$$

从 $t=-\infty$ 振荡到 $t=+\infty$。它有精确频率，却没有有限持续时间。

有限脉冲必须写成许多 Fourier modes 的叠加：

$$\boxed{ E(t)=\int_{-\infty}^{\infty} \widetilde E(\omega)e^{-i\omega t}\,d\omega }.$$

其中 $\widetilde E(\omega)$ 给出各频率成分的复振幅。

5.2 为什么短脉冲频谱宽

考虑只在 $-T/2<t<T/2$ 存在的单频振荡：

$$E(t)= \begin{cases} e^{-i\omega_0t}, & |t|<T/2,\\ 0, & |t|>T/2. \end{cases}$$

Fourier transform 为

$$\widetilde E(\omega) \propto \int_{-T/2}^{T/2} e^{i(\omega-\omega_0)t}\,dt = \frac{2\sin[(\omega-\omega_0)T/2]} {\omega-\omega_0}.$$

第一个零点满足

$$|\omega-\omega_0|=\frac{2\pi}{T}.$$

所以频谱宽度的数量级是

$$\boxed{ \Delta\omega\sim\frac{1}{T} },$$

即

$$\boxed{ \Delta\omega\,\Delta t\gtrsim1 }.$$

物理上，两个相近频率经过时间 $T$ 积累的相位差为

$$\Delta\Phi=\Delta\omega\,T.$$

若 $\Delta\omega T\ll1$，有限观测时间内无法分辨二者。观测越短，频率分辨率越差；要把波局域成短脉冲，也需要更宽的频率范围相互干涉。

5.3 这与量子力学有什么联系

$\partial_t\rightarrow-i\omega$ 和 $\nabla\rightarrow i\mathbf k$ 首先是经典 Fourier 分析，不是量子假设。量子力学进一步使用

$$\boxed{E=\hbar\omega}, \qquad \boxed{\mathbf p=\hbar\mathbf k}.$$

因此对于量子平面波

$$\psi\propto e^{i(\mathbf k\cdot\mathbf r-\omega t)},$$

有

$$i\hbar\frac{\partial\psi}{\partial t}=E\psi, \qquad -i\hbar\nabla\psi=\mathbf p\psi.$$

这给出量子能量和动量算符

$$\hat E=i\hbar\partial_t, \qquad \hat{\mathbf p}=-i\hbar\nabla.$$

经典 Fourier 关系

$$\Delta x\,\Delta k\geq\frac12$$

结合 $p=\hbar k$，变成

$$\Delta x\,\Delta p\geq\frac{\hbar}{2}.$$

但二者物理解释不同：经典电磁场的 $|E|^2$ 与能量密度或强度有关；量子波函数的 $|\psi|^2$ 是概率密度。RL §8.1 的等离子体推导仍是经典电磁学，只是与量子力学共享 Fourier 模式这一数学基础。

5.4 为什么这一节对等离子体传播必要

短的脉冲星或 FRB 脉冲天然包含一段频率范围。若介质使 $v_g$ 依赖频率，不同 Fourier 成分便在不同时间到达，原来的脉冲被拉开。色散延迟因此是“有限脉冲 + 频率依赖群速度”的直接结果。

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6. 自由电子响应、电流与等效介电常数

6.1 电子怎样响应电场

电子电荷为 $-e$。忽略磁力、碰撞和热压后，运动方程是

$$\boxed{ m_e\dot{\mathbf v}=-e\mathbf E }.$$

采用 $e^{i(\mathbf k\cdot\mathbf r-\omega t)}$，有 $\dot{\mathbf v}=-i\omega\mathbf v$，所以

$$-i\omega m_e\mathbf v=-e\mathbf E.$$

解得

$$\boxed{ \mathbf v=\frac{e}{i\omega m_e}\mathbf E =-\frac{i e}{\omega m_e}\mathbf E }.$$

电子电流密度为

$$\mathbf j=-n_e e\mathbf v,$$

因此

$$\boxed{ \mathbf j =\frac{i n_e e^2}{\omega m_e}\mathbf E }.$$

若写成 $\mathbf j=\sigma\mathbf E$，等效电导率是

$$\boxed{ \sigma=\frac{i n_e e^2}{\omega m_e} }.$$

它是纯虚数，表示电流与电场相差 $90^\circ$。

6.2 把电子电流代回 Maxwell 方程

含电子电流的 Ampère-Maxwell equation 是

$$\nabla\times\mathbf B =\frac{4\pi}{c}\mathbf j +\frac{1}{c}\frac{\partial\mathbf E}{\partial t}.$$

对平面波：

$$i\mathbf k\times\mathbf B =\frac{4\pi}{c}\mathbf j -\frac{i\omega}{c}\mathbf E.$$

代入 $\mathbf j=\sigma\mathbf E$：

$$i\mathbf k\times\mathbf B =\frac{1}{c}(4\pi\sigma-i\omega)\mathbf E.$$

希望将其写成普通介质的形式

$$i\mathbf k\times\mathbf B =-\frac{i\omega}{c}\epsilon(\omega)\mathbf E.$$

比较系数：

$$-i\omega\epsilon=4\pi\sigma-i\omega,$$

所以

$$\epsilon =1-\frac{4\pi\sigma}{i\omega}.$$

再代入 $\sigma=i n_e e^2/(\omega m_e)$：

$$\boxed{ \epsilon(\omega) =1-\frac{4\pi n_e e^2}{m_e\omega^2} }.$$

定义

$$\boxed{ \omega_p^2\equiv\frac{4\pi n_e e^2}{m_e} },$$

便得到

$$\boxed{ \epsilon(\omega)=1-\frac{\omega_p^2}{\omega^2} }.$$

这一步只是重新记账：原来显式写出电子电流，现在把线性电子响应吸收到频率依赖的介电常数中。

6.3 从 polarization 得到同一结果

令电子位移为 $\mathbf x$。运动方程

$$m_e\ddot{\mathbf x}=-e\mathbf E$$

对简谐运动给出

$$-m_e\omega^2\mathbf x=-e\mathbf E,$$

所以

$$\mathbf x=\frac{e}{m_e\omega^2}\mathbf E.$$

每个电子的偶极矩为

$$\mathbf p=-e\mathbf x =-\frac{e^2}{m_e\omega^2}\mathbf E.$$

因此 polarization

$$\mathbf P=n_e\mathbf p =-\frac{n_e e^2}{m_e\omega^2}\mathbf E.$$

Gaussian-cgs 中

$$\mathbf D=\mathbf E+4\pi\mathbf P,$$

于是

$$\mathbf D =\left( 1-\frac{4\pi n_e e^2}{m_e\omega^2} \right)\mathbf E =\epsilon(\omega)\mathbf E.$$

而 polarization current

$$\frac{\partial\mathbf P}{\partial t} =-i\omega\mathbf P =\frac{i n_e e^2}{m_e\omega}\mathbf E$$

正好等于前面得到的 $\mathbf j$。两条推导完全一致。

6.4 负号的物理意义

电子带负电，所以诱导 polarization 与外加电场相反：

$$\mathbf P\parallel-\mathbf E.$$

电子响应部分屏蔽外场，使 $\epsilon<1$。又因为

$$|\mathbf x|\propto\frac{1}{\omega^2},$$

高频时电子来不及明显移动，$\epsilon\rightarrow1$；低频时响应更强，$\epsilon$ 明显偏离 1。

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7. 冷等离子体色散关系、截止与无耗散响应

7.1 dispersion relation

把 Maxwell 方程写成

$$i\mathbf k\times\mathbf E =i\frac{\omega}{c}\mathbf B,$$ $$i\mathbf k\times\mathbf B =-i\frac{\omega}{c}\epsilon\mathbf E.$$

对第一式再取 $\mathbf k\times$，并使用横波条件 $\mathbf k\cdot\mathbf E=0$：

$$\mathbf k\times(\mathbf k\times\mathbf E) =-k^2\mathbf E.$$

消去 $\mathbf B$ 后得到

$$c^2k^2=\epsilon\omega^2.$$

代入 $\epsilon=1-\omega_p^2/\omega^2$：

$$c^2k^2 =\omega^2-\omega_p^2.$$

因此

$$\boxed{ \omega^2=\omega_p^2+c^2k^2 }.$$

这条非线性的 $\omega(k)$ 关系是色散、相速度与群速度不同的根源。

7.2 plasma frequency 的数值

若 $n_e$ 用 $\mathrm{cm^{-3}}$，则

$$\boxed{ \omega_p =5.63\times10^4 \sqrt{\frac{n_e}{\mathrm{cm^{-3}}}} \ \mathrm{s^{-1}} }.$$

普通频率为

$$\boxed{ \nu_p=\frac{\omega_p}{2\pi} =8.98\,\mathrm{kHz} \sqrt{\frac{n_e}{\mathrm{cm^{-3}}}} }.$$

7.3 cutoff 为什么出现

由

$$k^2=\frac{\omega^2-\omega_p^2}{c^2}$$

可知：

• 若 $\omega>\omega_p$，则 $k$ 为实数，有传播波；
• 若 $\omega<\omega_p$，则 $k$ 为纯虚数，没有正常传播的横向电磁波。

令

$$k=i\kappa, \qquad \kappa=\frac{1}{c}\sqrt{\omega_p^2-\omega^2}.$$

空间因子变成

$$e^{ikr}=e^{-\kappa r},$$

即 evanescent field。理想无碰撞模型中，这通常对应反射和有限穿透深度，而不是把能量转化成热。

7.4 为什么有色散却没有普通电阻性耗散

把实电场写成

$$\mathbf E(t)=\mathbf E_0\cos\omega t.$$

电子运动给出

$$\mathbf v(t) =-\frac{e\mathbf E_0}{m_e\omega}\sin\omega t,$$

所以

$$\mathbf j(t) =\frac{n_e e^2\mathbf E_0}{m_e\omega}\sin\omega t.$$

$\mathbf j$ 与 $\mathbf E$ 相差 $90^\circ$。单位体积瞬时功率为

$$\mathbf j\cdot\mathbf E \propto\sin\omega t\cos\omega t =\frac12\sin2\omega t.$$

一个周期平均后

$$\boxed{ \langle\mathbf j\cdot\mathbf E\rangle=0 }.$$

电子在部分周期吸收场能量，在另一部分周期把动能还给场。复电导率

$$\sigma=\frac{i n_e e^2}{\omega m_e}$$

只有虚部，而平均 Joule power

$$\langle P\rangle =\frac12\operatorname{Re}(\sigma)|E_0|^2$$

为零。因此该响应像理想电感或电容，是 reactive response：它改变相位和传播速度，却不产生净热耗散。

若加入碰撞频率 $\nu_{\rm coll}$，运动方程变为

$$m_e(\dot{\mathbf v}+\nu_{\rm coll}\mathbf v) =-e\mathbf E.$$

此时 $\operatorname{Re}(\sigma)>0$，有序电子振荡会转化成随机热运动，介质才真正吸收电磁能量。

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8. 相速度、群速度与信号传播

8.1 两个定义追踪不同对象

相速度

$$\boxed{ v_{\rm ph}=\frac{\omega}{k} }$$

追踪单个波峰或固定相位面。

群速度

$$\boxed{ v_g=\frac{d\omega}{dk} }$$

追踪由相近波数组成的窄波包包络。在透明、弱吸收的正常色散介质中，它也是脉冲质心、能量和调制传播的速度。

8.2 从两列相近波看到群速度

取

$$E_1=\cos(k_1x-\omega_1t), \qquad E_2=\cos(k_2x-\omega_2t).$$

相加并用三角恒等式：

$$E_1+E_2 =2\cos\left( \frac{\Delta k}{2}x -\frac{\Delta\omega}{2}t \right) \cos(\bar kx-\bar\omega t).$$

快速载波的相速度约为 $\bar\omega/\bar k$；缓慢包络的速度是

$$\frac{\Delta\omega}{\Delta k}.$$

当 $\Delta k\rightarrow0$：

$$\boxed{ v_g=\frac{d\omega}{dk} }.$$

8.3 冷等离子体中的相速度

由

$$k=\frac{\omega}{c} \sqrt{1-\frac{\omega_p^2}{\omega^2}},$$

折射率为

$$\boxed{ n_r\equiv\frac{ck}{\omega} =\sqrt{1-\frac{\omega_p^2}{\omega^2}} }.$$

因此

$$\boxed{ v_{\rm ph} =\frac{\omega}{k} =\frac{c}{n_r} =\frac{c}{\sqrt{1-\omega_p^2/\omega^2}} >c }.$$

8.4 冷等离子体中的群速度

对

$$\omega^2=\omega_p^2+c^2k^2$$

关于 $k$ 求导：

$$2\omega\frac{d\omega}{dk}=2c^2k.$$

所以

$$\boxed{ v_g =\frac{d\omega}{dk} =\frac{c^2k}{\omega} =c\sqrt{1-\frac{\omega_p^2}{\omega^2}} =cn_r<c }.$$

二者满足

$$\boxed{ v_{\rm ph}v_g=c^2 }.$$

8.5 为什么 $v_{\rm ph}>c$ 不违反相对论

波峰是干涉图样，不是一个带着能量和信息前进的独立物体。波传播时，一个波峰可以在包络后方消失，同时另一个在前方形成。超光速的相位图样不等于超光速传递新信息。

严格的因果速度是 wave front velocity。对本节理想无碰撞冷等离子体，能量与有限脉冲由 $v_g<c$ 传播。

当 $\omega\rightarrow\omega_p^+$ 时，$k\rightarrow0$，所以

$$v_{\rm ph}\rightarrow\infty, \qquad v_g\rightarrow0.$$

其物理意义不是能量无限快传播，而是相位空间尺度变得极大，同时波包几乎不能向前输运能量。

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9. 脉冲星色散、DM 与数值系数 4.15 ms

9.1 高频展开

冷等离子体群速度为

$$v_g=c\sqrt{1-\frac{\omega_p^2}{\omega^2}}.$$

星际等离子体通常满足 $\omega\gg\omega_p$。令 $x=\omega_p^2/\omega^2\ll1$，使用

$$(1-x)^{-1/2}\simeq1+\frac{x}{2},$$

得到

$$\frac{1}{v_g} \simeq \frac{1}{c} \left( 1+\frac12\frac{\omega_p^2}{\omega^2} \right).$$

传播时间是

$$t_p(\omega)=\int_0^d\frac{ds}{v_g}.$$

因此

$$t_p(\omega) \simeq \frac{d}{c} +\frac{1}{2c\omega^2} \int_0^d\omega_p^2(s)\,ds.$$

第一项是真空传播时间，第二项是等离子体附加延迟。

9.2 dispersion measure

代入

$$\omega_p^2=\frac{4\pi n_e e^2}{m_e}, \qquad \omega=2\pi\nu,$$

得到

$$\Delta t_{\rm plasma}(\nu) =\frac{e^2}{2\pi m_ec} \frac{1}{\nu^2} \int_0^d n_e(s)\,ds.$$

定义

$$\boxed{ \mathrm{DM}\equiv\int_0^d n_e(s)\,ds },$$

于是

$$\boxed{ \Delta t_{\rm plasma}(\nu) =\frac{e^2}{2\pi m_ec} \frac{\mathrm{DM}}{\nu^2} }.$$

DM 是电子柱密度，不是距离。只有再采用 Galactic electron-density model，才可由 DM 估计距离。

9.3 两个频率的延迟

低频与高频之间的到达时间差为

$$\Delta t =\frac{e^2}{2\pi m_ec} \mathrm{DM} \left( \frac{1}{\nu_{\rm low}^2} -\frac{1}{\nu_{\rm high}^2} \right).$$

因为 $\nu_{\rm low}^{-2}>\nu_{\rm high}^{-2}$，低频成分后到。

9.4 为什么数值系数是 4.15

Gaussian-cgs 中

$$e=4.8032\times10^{-10}\,\mathrm{statC},$$ $$m_e=9.1094\times10^{-28}\,\mathrm{g}, \qquad c=2.9979\times10^{10}\,\mathrm{cm\,s^{-1}}.$$

因此

$$\frac{e^2}{2\pi m_ec} =1.3445\times10^{-3}\,\mathrm{cm^2\,s^{-1}}.$$

又有

$$1\,\mathrm{pc}=3.0857\times10^{18}\,\mathrm{cm},$$ $$1\,\mathrm{pc\,cm^{-3}} =3.0857\times10^{18}\,\mathrm{cm^{-2}},$$

以及

$$(1\,\mathrm{GHz})^{-2}=10^{-18}\,\mathrm{s^2}.$$

所以

$$\left(1.3445\times10^{-3}\right) \left(3.0857\times10^{18}\right) \left(10^{-18}\right) =4.1488\times10^{-3}\,\mathrm{s}.$$

即

$$\boxed{4.1488\,\mathrm{ms}\simeq4.15\,\mathrm{ms}}.$$

最终常用式是

$$\boxed{ \Delta t \simeq 4.15\,\mathrm{ms} \left( \frac{\mathrm{DM}}{\mathrm{pc\,cm^{-3}}} \right) \left[ \left( \frac{\nu_{\rm low}}{\mathrm{GHz}} \right)^{-2} - \left( \frac{\nu_{\rm high}}{\mathrm{GHz}} \right)^{-2} \right] }.$$

$4.15$ 不是新的基本常数，而是 $e$、$m_e$、$c$ 与 pc、GHz、ms 的单位换算组合。

9.5 一个数量级例子

若

$$\mathrm{DM}=30\,\mathrm{pc\,cm^{-3}},$$

比较 $0.4\,\mathrm{GHz}$ 与 $0.8\,\mathrm{GHz}$：

$$\Delta t =4.15\,\mathrm{ms}\times30 \left(0.4^{-2}-0.8^{-2}\right) \simeq0.58\,\mathrm{s}.$$

低频延迟在射电波段可以非常明显，这使脉冲星和 FRB 成为测量电子柱密度的工具。

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10. 习题 2.2：导电介质、复折射率与吸收

10.1 题目目标

导电介质满足

$$\mathbf j=\sigma\mathbf E.$$

题目要求证明

$$\boxed{ k^2=\frac{\omega^2m^2}{c^2} },$$

其中教材用 $m$ 表示复折射率：

$$\boxed{ m^2 =\mu\epsilon \left( 1+\frac{4\pi i\sigma}{\omega\epsilon} \right) }.$$

随后证明强度吸收系数

$$\boxed{ \alpha_\nu =\frac{2\omega}{c}\operatorname{Im}(m) }.$$

10.2 Maxwell 方程的 Fourier 形式

使用 $\mathbf D=\epsilon\mathbf E$、$\mathbf B=\mu\mathbf H$：

$$\nabla\times\mathbf E =-\frac{1}{c}\frac{\partial\mathbf B}{\partial t},$$ $$\nabla\times\mathbf H =\frac{4\pi}{c}\mathbf j +\frac{1}{c}\frac{\partial\mathbf D}{\partial t}.$$

代入平面波和 $\mathbf j=\sigma\mathbf E$：

$$\mathbf k\times\mathbf E =\frac{\omega\mu}{c}\mathbf H, \tag{10.1}$$ $$\mathbf k\times\mathbf H =-\frac{1}{c} (\omega\epsilon+i4\pi\sigma) \mathbf E. \tag{10.2}$$

对式 (10.1) 再取 $\mathbf k\times$：

$$\mathbf k\times(\mathbf k\times\mathbf E) =\frac{\omega\mu}{c} \mathbf k\times\mathbf H.$$

横向传播支满足 $\mathbf k\cdot\mathbf E=0$，所以左侧为 $-k^2\mathbf E$。代入式 (10.2)：

$$-k^2\mathbf E =-\frac{\omega\mu}{c^2} (\omega\epsilon+i4\pi\sigma) \mathbf E.$$

因此

$$k^2 =\frac{\omega^2\mu\epsilon}{c^2} \left( 1+\frac{4\pi i\sigma}{\omega\epsilon} \right).$$

定义

$$m^2 =\mu\epsilon \left( 1+\frac{4\pi i\sigma}{\omega\epsilon} \right),$$

便得到

$$\boxed{k=\frac{\omega}{c}m}.$$

10.3 “波的空间部分”是什么意思

完整平面波可拆成

$$E(r,t)=E_0 \underbrace{e^{ikr}}_{\text{空间依赖}} \underbrace{e^{-i\omega t}}_{\text{时间依赖}}.$$

在固定时间观察不同位置，$e^{ikr}$ 决定空间振荡；在固定位置观察时间变化，$e^{-i\omega t}$ 决定时间振荡。二者合在一起才是传播波。

10.4 复折射率为什么产生空间衰减

令

$$m=m_R+i m_I, \qquad k=\frac{\omega}{c}(m_R+i m_I).$$

空间因子为

$$e^{ikr} =\exp\left[ i\frac{\omega}{c}(m_R+i m_I)r \right].$$

因为 $i^2=-1$：

$$e^{ikr} =e^{-\omega m_Ir/c} e^{i\omega m_Rr/c}.$$

所以

$$\boxed{ |E(r)|=|E_0|e^{-\omega m_Ir/c} }.$$

$m_R$ 控制相位与波长，$m_I>0$ 控制振幅随距离衰减。按照本文的 $e^{i(kr-\omega t)}$ 约定，物理解选择 $m_I>0$，避免无源介质中的指数增长。

强度与振幅平方成正比：

$$I_\nu(r) =I_\nu(0)e^{-2\omega m_Ir/c}.$$

与

$$I_\nu(r)=I_\nu(0)e^{-\alpha_\nu r}$$

比较，得到

$$\boxed{ \alpha_\nu =\frac{2\omega}{c}m_I =\frac{2\omega}{c}\operatorname{Im}(m) }.$$

因子 2 来自强度是场振幅的平方。

10.5 物理意义与 SI 版本

导电介质若具有 $\operatorname{Re}(\sigma)>0$，则

$$\langle\mathbf j\cdot\mathbf E\rangle>0.$$

电磁能不可逆地转化成 Joule heat，表现为复折射率的正虚部和强度衰减。

在 SI 中，避免混入 cgs 的 $4\pi$，最安全的中间式是

$$\boxed{ k^2=\omega^2\mu\epsilon+i\omega\mu\sigma }.$$

这里 $\epsilon$、$\mu$ 是 SI 的绝对介电常数和磁导率。

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11. 习题 8.1：为什么 $I_\nu/n_r^2$ 沿光线守恒

11.1 题目与假设

题目要求在折射介质中证明

$$\boxed{ \frac{I_\nu}{n_r^2} =\mathrm{constant\ along\ a\ ray} }.$$

这里 $n_r$ 是折射率。假设界面静止、局部平坦、两侧介质各向同性，并忽略吸收、发射和反射损失。

11.2 穿过界面的能流守恒

对界面上一小块面积 $dA$，光束在频率区间 $d\nu$ 与立体角 $d\Omega$ 内携带的法向能流为

$$dP =I_\nu\cos\theta\,dA\,d\Omega\,d\nu.$$

因此界面两侧有

$$I_{\nu,1}\cos\theta_1\,d\Omega_1 =I_{\nu,2}\cos\theta_2\,d\Omega_2. \tag{11.1}$$

11.3 为什么 $d\phi_1=d\phi_2$

以界面法线为 $z$ 轴，光线方向写成

$$\hat{\mathbf k} =(\sin\theta\cos\phi, \sin\theta\sin\phi, \cos\theta).$$

平面界面要求波矢平行于界面的分量守恒：

$$\mathbf k_{1,\parallel}=\mathbf k_{2,\parallel}.$$

即

$$k_1\sin\theta_1 (\cos\phi_1,\sin\phi_1) =k_2\sin\theta_2 (\cos\phi_2,\sin\phi_2).$$

矢量大小给出 Snell’s law；方向相同则要求

$$\boxed{\phi_2=\phi_1}.$$

相邻两条光线之间的方位角间隔因此也不变：

$$\boxed{d\phi_2=d\phi_1}.$$

几何上，折射改变光线向法线靠近或远离的倾角 $\theta$，但不会使光线绕法线无缘无故旋转；入射线、折射线与法线保持在同一入射平面中。

11.4 立体角怎样变化

球坐标中的立体角元为

$$d\Omega=\sin\theta\,d\theta\,d\phi.$$

Snell’s law 是

$$n_1\sin\theta_1=n_2\sin\theta_2. \tag{11.2}$$

对其微分：

$$n_1\cos\theta_1\,d\theta_1 =n_2\cos\theta_2\,d\theta_2. \tag{11.3}$$

利用 $d\phi_2=d\phi_1$：

$$\frac{d\Omega_2}{d\Omega_1} =\frac{\sin\theta_2\,d\theta_2} {\sin\theta_1\,d\theta_1}.$$

分别由式 (11.2) 与 (11.3)：

$$\frac{\sin\theta_2}{\sin\theta_1} =\frac{n_1}{n_2},$$ $$\frac{d\theta_2}{d\theta_1} =\frac{n_1\cos\theta_1} {n_2\cos\theta_2}.$$

因此

$$\boxed{ \frac{d\Omega_2}{d\Omega_1} =\frac{n_1^2}{n_2^2} \frac{\cos\theta_1}{\cos\theta_2} }.$$

11.5 得到不变量

代回能流守恒式 (11.1)：

$$I_{\nu,1}\cos\theta_1d\Omega_1 =I_{\nu,2}\cos\theta_2 \left( \frac{n_1^2}{n_2^2} \frac{\cos\theta_1}{\cos\theta_2} d\Omega_1 \right).$$

消去公共因子：

$$I_{\nu,1} =I_{\nu,2}\frac{n_1^2}{n_2^2}.$$

所以

$$\boxed{ \frac{I_{\nu,1}}{n_1^2} =\frac{I_{\nu,2}}{n_2^2} }.$$

把连续变化的介质视为许多无限薄界面，即得 $I_\nu/n_r^2$ 沿光线守恒。

11.6 物理解释

折射会压缩或扩张光束在方向空间中占据的立体角。$I_\nu$ 的变化不一定表示能量被创造或消灭，而可能只是同样的能量被重新分配到不同大小的 $d\Omega$ 中。

这也是光学 étendue 守恒和折射介质中 Liouville theorem 的表现。真空中 $n_r=1$，便退化为普通的 $I_\nu$ 沿无源光线守恒。

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12. 习题 8.2：波包质心为什么以群速度运动

12.1 题目

一维波包为

$$\psi(r,t) =\int_{-\infty}^{\infty} A(k)e^{i[kr-\omega(k)t]}\,dk.$$

定义质心

$$\langle r(t)\rangle =\frac{\int r|\psi(r,t)|^2dr} {\int|\psi(r,t)|^2dr}.$$

要求证明

$$\boxed{ \frac{d}{dt}\langle r(t)\rangle = \frac{ \int (d\omega/dk)|A(k)|^2dk }{ \int |A(k)|^2dk } }.$$

12.2 把时间演化放进 Fourier 振幅

定义

$$\phi(k,t)=A(k)e^{-i\omega(k)t}.$$

则

$$\psi(r,t)=\int\phi(k,t)e^{ikr}\,dk.$$

由 Parseval relation：

$$\int|\psi|^2dr =2\pi\int|\phi|^2dk =2\pi\int|A(k)|^2dk.$$

因为 $\omega(k)$ 为实数，$|e^{-i\omega t}|=1$，所以分母与时间无关。

12.3 位置在 $k$ 空间中的作用

由

$$r e^{ikr} =\frac{1}{i}\frac{\partial}{\partial k}e^{ikr} =-i\frac{\partial}{\partial k}e^{ikr},$$

并假设 $A(k)$ 在积分边界充分迅速趋零，分部积分得到

$$\langle r(t)\rangle =\frac{ \int\phi^*(k,t) i\partial_k\phi(k,t)\,dk }{ \int|\phi(k,t)|^2dk }.$$

计算导数：

$$i\partial_k\phi =iA'(k)e^{-i\omega t} +t\frac{d\omega}{dk}A(k)e^{-i\omega t}.$$

因此

$$\langle r(t)\rangle =r_0 +t \frac{ \int (d\omega/dk)|A(k)|^2dk }{ \int |A(k)|^2dk },$$

其中 $r_0$ 是不随时间变化的初始质心。对时间求导：

$$\boxed{ \frac{d}{dt}\langle r(t)\rangle =\left\langle\frac{d\omega}{dk}\right\rangle }.$$

12.4 窄波包极限

若 $|A(k)|^2$ 只在 $k_0$ 附近显著，则 $d\omega/dk$ 在波包范围内近似常数：

$$\boxed{ \frac{d\langle r\rangle}{dt} \simeq \left.\frac{d\omega}{dk}\right|_{k_0} =v_g }.$$

所以群速度不是随意定义的；它确实是窄波包质心的传播速度。若波包很宽且 $d^2\omega/dk^2\neq0$，不同 $k$ 成分还会以不同速度传播，使波包在移动时展宽。

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13. English assignment-ready solutions

13.1 Problem 2.2

Assume fields proportional to $\exp[i(\mathbf k\cdot\mathbf r-\omega t)]$ in a homogeneous conducting medium, with

$$\mathbf D=\epsilon\mathbf E, \qquad \mathbf B=\mu\mathbf H, \qquad \mathbf j=\sigma\mathbf E.$$

Faraday's and Ampère-Maxwell's equations give

$$\mathbf k\times\mathbf E =\frac{\omega\mu}{c}\mathbf H,$$

and

$$\mathbf k\times\mathbf H =-\frac{1}{c} (\omega\epsilon+i4\pi\sigma)\mathbf E.$$

For the transverse electromagnetic mode, $\mathbf k\cdot\mathbf E=0$, so

$$\mathbf k\times(\mathbf k\times\mathbf E) =-k^2\mathbf E.$$

Eliminating $\mathbf H$ therefore yields

$$k^2 =\frac{\omega^2\mu\epsilon}{c^2} \left( 1+\frac{4\pi i\sigma}{\omega\epsilon} \right).$$

Defining the complex refractive index $m$ by

$$\boxed{ m^2 =\mu\epsilon \left( 1+\frac{4\pi i\sigma}{\omega\epsilon} \right) },$$

we obtain

$$\boxed{ k^2=\frac{\omega^2m^2}{c^2} }.$$

Write $m=m_R+i m_I$ and choose the physical branch with $m_I>0$. The spatial factor becomes

$$e^{ikr} =e^{-\omega m_Ir/c} e^{i\omega m_Rr/c}.$$

Thus the field amplitude decreases as $e^{-\omega m_Ir/c}$, whereas the intensity decreases as

$$I_\nu(r) =I_\nu(0)e^{-2\omega m_Ir/c}.$$

Comparison with $I_\nu(r)=I_\nu(0)e^{-\alpha_\nu r}$ gives

$$\boxed{ \alpha_\nu =\frac{2\omega}{c}\operatorname{Im}(m) }.$$

The factor of two appears because intensity is proportional to the squared field amplitude. With the opposite Fourier convention, the sign assigned to $\operatorname{Im}(m)$ changes, but the physical attenuation remains positive.

13.2 Problem 8.1

Consider a narrow ray bundle crossing a plane interface between two stationary, isotropic, lossless media. Conservation of the monochromatic power normal to the interface requires

$$I_{\nu,1}\cos\theta_1\,d\Omega_1 =I_{\nu,2}\cos\theta_2\,d\Omega_2. \tag{1}$$

Snell's law is

$$n_1\sin\theta_1=n_2\sin\theta_2. \tag{2}$$

Differentiating gives

$$n_1\cos\theta_1\,d\theta_1 =n_2\cos\theta_2\,d\theta_2. \tag{3}$$

The tangential wave-vector direction is unchanged at an isotropic plane interface, so the incident and refracted rays remain in the same plane of incidence and $d\phi_2=d\phi_1$. Since

$$d\Omega=\sin\theta\,d\theta\,d\phi,$$

Eqs. (2) and (3) imply

$$\frac{d\Omega_2}{d\Omega_1} =\frac{n_1^2}{n_2^2} \frac{\cos\theta_1}{\cos\theta_2}.$$

Substitution into Eq. (1) gives

$$I_{\nu,1} =I_{\nu,2}\frac{n_1^2}{n_2^2},$$

and hence

$$\boxed{ \frac{I_{\nu,1}}{n_1^2} =\frac{I_{\nu,2}}{n_2^2} }.$$

Treating a smoothly varying medium as a sequence of infinitesimal interfaces shows that $I_\nu/n_r^2$ is constant along a ray, provided there is no emission, absorption, or reflective loss.

13.3 Problem 8.2

Define

$$\phi(k,t)=A(k)e^{-i\omega(k)t},$$

so that

$$\psi(r,t)=\int_{-\infty}^{\infty}\phi(k,t)e^{ikr}\,dk.$$

Parseval's theorem gives

$$\int|\psi|^2dr =2\pi\int|A(k)|^2dk,$$

which is independent of time because $\omega(k)$ is real. Using the Fourier-space representation of position and assuming that $A(k)$ vanishes sufficiently rapidly at the integration boundaries,

$$\langle r(t)\rangle =\frac{ \int\phi^* i\partial_k\phi\,dk }{ \int|\phi|^2dk }.$$

Since

$$i\partial_k\phi =iA'(k)e^{-i\omega t} +t\frac{d\omega}{dk}A(k)e^{-i\omega t},$$

the centroid is

$$\langle r(t)\rangle =r_0 +t \frac{ \int(d\omega/dk)|A(k)|^2dk }{ \int|A(k)|^2dk }.$$

Therefore

$$\boxed{ \frac{d}{dt}\langle r(t)\rangle = \frac{ \int(d\omega/dk)|A(k)|^2dk }{ \int|A(k)|^2dk } }.$$

For a narrow packet centered on $k_0$, this weighted average becomes

$$\boxed{ \frac{d\langle r\rangle}{dt} \simeq \left.\frac{d\omega}{dk}\right|_{k_0} =v_g }.$$

Thus the group velocity is the propagation velocity of the centroid of a narrow wave packet.

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14. 复习清单、量纲检查与常见混淆

14.1 应该能独立推导

• 从真空 Maxwell 方程推出 $\mathbf E$ 与 $\mathbf B$ 的波动方程。
• 把平面波代入波动方程，得到 $\omega=ck$ 与 $v_{\rm ph}=c$。
• 从 $m_e\dot{\mathbf v}=-e\mathbf E$ 得到 $\mathbf j=i n_e e^2\mathbf E/(\omega m_e)$。
• 把电子电流并入 Ampère-Maxwell equation，得到 $\epsilon=1-\omega_p^2/\omega^2$。
• 从 Maxwell 方程得到 $\omega^2=\omega_p^2+c^2k^2$。
• 从 dispersion relation 推出 $v_{\rm ph}$、$v_g$ 与 $v_{\rm ph}v_g=c^2$。
• 从 $v_g$ 的高频展开得到 $\Delta t\propto\mathrm{DM}\,\nu^{-2}$。
• 完成习题 2.2 中复折射率到吸收系数的推导。
• 用 Snell’s law 和能流守恒证明 $I_\nu/n_r^2$ 沿光线守恒。
• 用 Fourier-space position operator 证明波包质心速度是 $d\omega/dk$ 的谱加权平均。

14.2 可以直接记住的核心结论

$$\omega_p^2=\frac{4\pi n_e e^2}{m_e}, \qquad \epsilon=1-\frac{\omega_p^2}{\omega^2},$$ $$\omega^2=\omega_p^2+c^2k^2,$$ $$v_{\rm ph}=\frac{c}{\sqrt{1-\omega_p^2/\omega^2}}, \qquad v_g=c\sqrt{1-\frac{\omega_p^2}{\omega^2}},$$ $$\mathrm{DM}=\int n_e\,ds, \qquad \Delta t\propto\mathrm{DM}\,\nu^{-2},$$ $$\frac{I_\nu}{n_r^2}=\mathrm{constant\ along\ a\ ray}.$$

14.3 量纲检查

Gaussian-cgs 中 $e^2$ 的量纲是 $\mathrm{erg\,cm}=\mathrm{g\,cm^3\,s^{-2}}$，所以

$$\left[ \frac{n_e e^2}{m_e} \right] =\mathrm{s^{-2}},$$

与 $\omega_p^2$ 一致。

DM 的单位是

$$[n_e ds]=\mathrm{cm^{-3}}\times\mathrm{pc},$$

本质是柱密度。把 pc 转成 cm 后为 $\mathrm{cm^{-2}}$。

吸收系数

$$\alpha_\nu=\frac{2\omega}{c}\operatorname{Im}(m)$$

的量纲是

$$[\omega/c]=\mathrm{cm^{-1}},$$

符合 $I_\nu=I_{\nu,0}e^{-\alpha_\nu r}$ 的要求。

14.4 最容易混淆的地方

1. $\rho=\mathbf j=0$ 只表示局部无源，不表示电磁场为零。
2. $\partial_t\rightarrow-i\omega$ 来自所选复指数约定，不是量子力学专属规则。
3. $\Delta\omega\Delta t\gtrsim1$ 首先是经典 Fourier 性质；量子力学通过 $E=\hbar\omega$ 与 $p=\hbar k$ 赋予能量和动量解释。
4. 色散是传播速度依赖频率；耗散是电磁能不可逆地转化成热或内部能量。
5. $\omega<\omega_p$ 时的 evanescence 在无碰撞模型中不等于吸收。
6. $v_{\rm ph}>c$ 不代表能量或信息超光速；有限脉冲由 $v_g<c$ 传播。
7. $m$ 在习题 2.2 中是复折射率，$m_e$ 才是电子质量。
8. 复波数的实部控制相位，虚部控制空间衰减；强度指数是振幅指数的两倍。
9. $n_e$ 是电子数密度，$n_r$ 是折射率，不能混用。
10. $I_\nu$ 在普通真空光线中守恒；折射介质中正确的不变量是 $I_\nu/n_r^2$。
11. 平面各向同性界面只改变极角 $\theta$，不改变绕法线的方位角 $\phi$，所以 $d\phi_1=d\phi_2$。
12. DM 是电子柱密度，不是直接测得的几何距离；散射或有限带宽也可能影响实际到达时间拟合。

14.5 极限检验

• $n_e\rightarrow0$：$\omega_p\rightarrow0$，恢复真空 $\epsilon=1$、$\omega=ck$、$v_{\rm ph}=v_g=c$。
• $\omega\rightarrow\infty$：电子来不及响应，$\epsilon\rightarrow1$，等离子体影响消失。
• $\omega\rightarrow\omega_p^+$：$k\rightarrow0$、$v_g\rightarrow0$、$v_{\rm ph}\rightarrow\infty$。
• $\omega<\omega_p$：$k$ 为虚数，只剩指数衰减场。
• $\operatorname{Im}(m)\rightarrow0$：习题 2.2 的 $\alpha_\nu\rightarrow0$，介质不吸收。
• $n_1=n_2$：习题 8.1 给出 $I_{\nu,1}=I_{\nu,2}$，恢复无折射界面的结果。
• 窄波包 $A(k)\rightarrow\delta(k-k_0)$：习题 8.2 的质心速度趋于 $d\omega/dk|_{k_0}$。

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15. 资料与引用

1. Rybicki, G. B., & Lightman, A. P., Radiative Processes in Astrophysics, §2.1–2.3、§8.1，以及 Problems 2.2、8.1、8.2。
2. AST1440 course page: https://www.astro.utoronto.ca/~mhvk/AST1440/
3. AstroBaki, Electromagnetic Plane Waves: https://casper.astro.berkeley.edu/astrobaki/index.php/Electromagnetic_Plane_Waves
4. AstroBaki, Plasma Frequency: https://casper.astro.berkeley.edu/astrobaki/index.php/Plasma_Frequency

本文中的 $4.15\,\mathrm{ms}$ 采用现代物理常数计算；实际脉冲星计时工作中也常使用历史约定的 dispersion constant，以保持不同时期 DM 数值的可比性。