课程：AST1440 — Radiation；本次主题为 polarization、Faraday rotation、radiation bending 与 scintillation。Radiative Processes in Astrophysics （简称 RL），§2.4，印刷页 62–68；§8.1，印刷页 224–228；§8.2，印刷页 229–231；习题 8.3，印刷页 236。Q − U Q-U Q − U 2 χ 2\chi 2 χ k R k_R k R k L k_L k L 0.812 / 1.232 0.812/1.232 0.812/1.232 Δ ν d τ s c \Delta\nu_{\rm d}\tau_{\rm sc} Δ ν d τ sc
目录
本次预习要求与逻辑主线 统一符号、单位制、复指数约定与假设 RL §2.4：偏振椭圆与 Stokes parameters 为什么出现 2 χ 2\chi 2 χ RL §8.1：冷、各向同性等离子体中的色散 从各向同性到磁化等离子体 k R k_R k R k L k_L k L RL §8.2：Faraday rotation 公式的完整推导 RM、DM 与视线平均磁场 Faraday rotation 的扩展：退偏振、Faraday depth 与 RM synthesis 等离子体折射：经典电子半径、相位屏与偏折角 散射、脉冲展宽与 scintillation 习题 8.3：用色散和 Faraday rotation 求平均磁场 English assignment-ready solution 复习清单、量纲检查、极限检验与常见混淆 资料与引用 附录：SI 与 Gaussian-cgs 单位制对比及典型公式
1. 本次预习要求与逻辑主线
1.1 阅读范围
本次指定内容分成三层：
RL §2.4 建立偏振语言：线偏振、圆偏振、椭圆偏振和 Stokes parameters。
RL §8.2 讨论电磁波沿背景磁场传播时的圆双折射和 Faraday rotation。
RL Problem 8.3 把 §8.1 的脉冲色散与 §8.2 的 Faraday rotation 结合起来，求电子密度加权的视线磁场。
老师还会讨论教材这一小节没有完全展开的两类推广：
Faraday rotation 的观测扩展，包括 RM、退偏振、Faraday depth 和 RM synthesis；
电子密度不均匀造成的折射、散射、多径传播和 scintillation。
由于 Problem 8.3 直接使用 §8.1 的色散到达时间公式，本文也把 §8.1 纳入完整推导，而不是把该公式当作未经解释的已知结果。
1.2 整体因果链
本次内容可以压缩为三条互相连接的主线。
第一条是偏振描述：
E x , E y 的振幅与相位差 ⟶ 偏振椭圆 ⟶ ( I , Q , U , V ) . \boxed{
E_x,E_y\text{ 的振幅与相位差}
\longrightarrow
\text{偏振椭圆}
\longrightarrow
(I,Q,U,V)
}. E x , E y 的振幅与相位差 ⟶ 偏振椭圆 ⟶ ( I , Q , U , V ) . 第二条是磁化等离子体传播：
B 0 ≠ 0 ⟶ 电子回旋 ⟶ ϵ R ≠ ϵ L ⟶ k R ≠ k L ⟶ Faraday rotation . \boxed{
\mathbf B_0\neq0
\longrightarrow
\text{电子回旋}
\longrightarrow
\epsilon_R\neq\epsilon_L
\longrightarrow
k_R\neq k_L
\longrightarrow
\text{Faraday rotation}
}. B 0 = 0 ⟶ 电子回旋 ⟶ ϵ R = ϵ L ⟶ k R = k L ⟶ Faraday rotation . 第三条是电子密度结构：
n e ( r ) 不均匀 ⟶ 相位梯度 ⟶ 折射与多径传播 ⟶ scattering/scintillation . \boxed{
n_e(\mathbf r)\text{ 不均匀}
\longrightarrow
\text{相位梯度}
\longrightarrow
\text{折射与多径传播}
\longrightarrow
\text{scattering/scintillation}
}. n e ( r ) 不均匀 ⟶ 相位梯度 ⟶ 折射与多径传播 ⟶ scattering/scintillation . 1.3 本节最重要的结果
冷、非磁化等离子体：
ϵ ( ω ) = 1 − ω p 2 ω 2 , ω 2 = ω p 2 + c 2 k 2 . \boxed{
\epsilon(\omega)=1-\frac{\omega_p^2}{\omega^2},
\qquad
\omega^2=\omega_p^2+c^2k^2
}. ϵ ( ω ) = 1 − ω 2 ω p 2 , ω 2 = ω p 2 + c 2 k 2 . Faraday rotation：
Δ χ = 2 π e 3 m e 2 c 2 ω 2 ∫ n e B ∥ d s = R M λ 2 . \boxed{
\Delta\chi
=
\frac{2\pi e^3}{m_e^2c^2\omega^2}
\int n_eB_\parallel\,ds
=\mathrm{RM}\,\lambda^2
}. Δ χ = m e 2 c 2 ω 2 2 π e 3 ∫ n e B ∥ d s = RM λ 2 . 等离子体相位与偏折：
δ ϕ = − r e λ N e , α ≃ − r e λ 2 2 π ∇ ⊥ N e . \boxed{
\delta\phi=-r_e\lambda N_e,
\qquad
\boldsymbol\alpha
\simeq
-\frac{r_e\lambda^2}{2\pi}\nabla_\perp N_e
}. δ ϕ = − r e λ N e , α ≃ − 2 π r e λ 2 ∇ ⊥ N e . 多径延迟与衍射 scintillation 带宽：
Δ ν d τ s c ∼ 1 2 π . \boxed{
\Delta\nu_{\rm d}\tau_{\rm sc}
\sim\frac{1}{2\pi}
}. Δ ν d τ sc ∼ 2 π 1 . 2. 统一符号、单位制、复指数约定与假设
2.1 符号表
符号 含义 说明 E , B \mathbf E,\mathbf B E , B 电场和磁场 RL 正文使用 Gaussian-cgs k , k \mathbf k,k k , k 波矢及其大小 k = 2 π / λ m e d i u m k=2\pi/\lambda_{\rm medium} k = 2 π / λ medium ω , ν \omega,\nu ω , ν 角频率和普通频率 ω = 2 π ν \omega=2\pi\nu ω = 2 π ν n e n_e n e 自由电子数密度 不要与折射率混淆 n r n_r n r 折射率 冷等离子体中 n r = c k / ω n_r=ck/\omega n r = c k / ω ω p \omega_p ω p 电子等离子体频率 ω p 2 = 4 π n e e 2 / m e \omega_p^2=4\pi n_e e^2/m_e ω p 2 = 4 π n e e 2 / m e ω B \omega_B ω B 电子回旋角频率 e B / ( m e c ) eB/(m_ec) e B / ( m e c ) I , Q , U , V I,Q,U,V I , Q , U , V Stokes parameters I I I Q , U Q,U Q , U V V V χ \chi χ 线偏振位置角 χ ≡ χ + π \chi\equiv\chi+\pi χ ≡ χ + π P P P 复线偏振 P = Q + i U P=Q+iU P = Q + i U D M \mathrm{DM} DM dispersion measure ∫ n e d s \int n_e ds ∫ n e d s R M \mathrm{RM} RM rotation measure d χ / d λ 2 d\chi/d\lambda^2 d χ / d λ 2 ϕ \phi ϕ Faraday depth 从某一发射位置到观察者的 n e B ∥ n_eB_\parallel n e B ∥ N e N_e N e 电子柱密度 ∫ n e d s \int n_e ds ∫ n e d s r e r_e r e 经典电子半径 e 2 / ( m e c 2 ) e^2/(m_ec^2) e 2 / ( m e c 2 ) α \boldsymbol\alpha α 等离子体折射偏角 小角度、薄相位屏近似 τ s c \tau_{\rm sc} τ sc 脉冲散射时间 多径延迟的特征时间 Δ ν d \Delta\nu_{\rm d} Δ ν d diffractive scintillation 去相关带宽 与 τ s c \tau_{\rm sc} τ sc
2.2 复指数与偏振约定
全文采用教材的平面波约定
e i ( k ⋅ r − ω t ) . \boxed{
e^{i(\mathbf k\cdot\mathbf r-\omega t)}
}. e i ( k ⋅ r − ω t ) . 因此
∇ → i k , ∂ ∂ t → − i ω . \nabla\rightarrow i\mathbf k,
\qquad
\frac{\partial}{\partial t}\rightarrow-i\omega. ∇ → i k , ∂ t ∂ → − iω . 圆偏振的“左/右”符号会随观察方向、时间指数和天文/工程 convention 改变。本文重点使用不依赖命名的物理结论：两个相反旋向的圆偏振本征模具有不同波数。旋转角的正负必须与采用的 convention 一致。
2.3 Gaussian-cgs 与 SI
RL 的等离子体推导采用 Gaussian-cgs：
ω p 2 = 4 π n e e 2 m e , ω B = e B m e c . \omega_p^2=\frac{4\pi n_e e^2}{m_e},
\qquad
\omega_B=\frac{eB}{m_ec}. ω p 2 = m e 4 π n e e 2 , ω B = m e c e B . SI 中相同物理量写成
ω p 2 = n e e 2 m e ϵ 0 , ω B = e B m e . \omega_p^2=\frac{n_e e^2}{m_e\epsilon_0},
\qquad
\omega_B=\frac{eB}{m_e}. ω p 2 = m e ϵ 0 n e e 2 , ω B = m e e B . 不能把 cgs 的电荷单位、磁场单位和 SI 公式混合使用。
磁感应强度的数值换算是
1 T = 10 4 G , 1 G = 10 − 4 T . \boxed{
1\,\mathrm T=10^4\,\mathrm G,
\qquad
1\,\mathrm G=10^{-4}\,\mathrm T
}. 1 T = 1 0 4 G , 1 G = 1 0 − 4 T . 因此
1 μ G = 10 − 10 T = 0.1 n T . 1\,\mu\mathrm G=10^{-10}\,\mathrm T=0.1\,\mathrm{nT}. 1 μ G = 1 0 − 10 T = 0.1 nT . SI 中
ω B = 1.7588 × 10 11 B ( T ) r a d s − 1 , \omega_B
=1.7588\times10^{11}B(\mathrm T)\ \mathrm{rad\,s^{-1}}, ω B = 1.7588 × 1 0 11 B ( T ) rad s − 1 , cgs 中
ω B = 1.7588 × 10 7 B ( G ) r a d s − 1 . \omega_B
=1.7588\times10^7B(\mathrm G)\ \mathrm{rad\,s^{-1}}. ω B = 1.7588 × 1 0 7 B ( G ) rad s − 1 . 两式在 1 T = 10 4 G 1\,\mathrm T=10^4\,\mathrm G 1 T = 1 0 4 G
磁场能量密度也必须按单位制成套使用：
u B = B 2 2 μ 0 (SI) , u B = B 2 8 π (Gaussian-cgs) . u_B=\frac{B^2}{2\mu_0}
\quad\text{(SI)},
\qquad
u_B=\frac{B^2}{8\pi}
\quad\text{(Gaussian-cgs)}. u B = 2 μ 0 B 2 (SI) , u B = 8 π B 2 (Gaussian-cgs) . 2.4 主要近似
冷、无碰撞、非相对论电子；离子在所考虑频率下近似不动。
§8.1 无背景磁场，因此局部各向同性。
§8.2 的基础推导令传播方向沿背景磁场，并取 ω ≫ ω p , ω B \omega\gg\omega_p,\omega_B ω ≫ ω p , ω B
Faraday rotation 的简单 λ 2 \lambda^2 λ 2
折射公式使用高频、小偏折、几何光学和薄相位屏近似。
scintillation 的 2 π Δ ν d τ s c ∼ 1 2\pi\Delta\nu_{\rm d}\tau_{\rm sc}\sim1 2 π Δ ν d τ sc ∼ 1
3. RL §2.4：偏振椭圆与 Stokes parameters
3.1 两个横向电场分量
设电磁波沿 z z z x − y x-y x − y
E x = E x cos ( ω t − ϕ x ) , E y = E y cos ( ω t − ϕ y ) . E_x=\mathcal E_x\cos(\omega t-\phi_x),
\qquad
E_y=\mathcal E_y\cos(\omega t-\phi_y). E x = E x cos ( ω t − ϕ x ) , E y = E y cos ( ω t − ϕ y ) . 偏振状态由三个独立信息决定：
x x x E x \mathcal E_x E x y y y E y \mathcal E_y E y 相位差 δ = ϕ x − ϕ y \delta=\phi_x-\phi_y δ = ϕ x − ϕ y
一般情况下，电场矢量尖端随时间画出椭圆，因此一般偏振状态是椭圆偏振。
3.2 三种重要情形
线偏振：
δ = 0 或 π . \delta=0\ \text{或}\ \pi. δ = 0 或 π . 两个分量同步或反向，电场始终沿一条固定直线来回振荡。
圆偏振：
E x = E y , δ = ± π 2 . \mathcal E_x=\mathcal E_y,
\qquad
\delta=\pm\frac{\pi}{2}. E x = E y , δ = ± 2 π . 电场大小固定、方向均匀旋转。
椭圆偏振：除上述退化情况外，电场尖端画出椭圆。
3.3 Stokes parameters
对准单色或窄带辐射，RL 的定义可以写成
I = ⟨ ∣ E x ∣ 2 ⟩ + ⟨ ∣ E y ∣ 2 ⟩ , I=\langle |E_x|^2\rangle+\langle |E_y|^2\rangle, I = ⟨ ∣ E x ∣ 2 ⟩ + ⟨ ∣ E y ∣ 2 ⟩ , Q = ⟨ ∣ E x ∣ 2 ⟩ − ⟨ ∣ E y ∣ 2 ⟩ , Q=\langle |E_x|^2\rangle-\langle |E_y|^2\rangle, Q = ⟨ ∣ E x ∣ 2 ⟩ − ⟨ ∣ E y ∣ 2 ⟩ , U = ⟨ E x E y ∗ ⟩ + ⟨ E y E x ∗ ⟩ , U=\langle E_xE_y^*\rangle+\langle E_yE_x^*\rangle, U = ⟨ E x E y ∗ ⟩ + ⟨ E y E x ∗ ⟩ , V = 1 i [ ⟨ E x E y ∗ ⟩ − ⟨ E y E x ∗ ⟩ ] . V=\frac{1}{i}
\left[
\langle E_xE_y^*\rangle-\langle E_yE_x^*\rangle
\right]. V = i 1 [ ⟨ E x E y ∗ ⟩ − ⟨ E y E x ∗ ⟩ ] . 物理上：
I I I Q Q Q x x x y y y U U U + 45 ∘ +45^\circ + 4 5 ∘ − 45 ∘ -45^\circ − 4 5 ∘ V V V
定义线偏振强度
L = Q 2 + U 2 . L=\sqrt{Q^2+U^2}. L = Q 2 + U 2 . 偏振位置角为
χ = 1 2 atan2 ( U , Q ) . \boxed{
\chi=\frac12\operatorname{atan2}(U,Q)
}. χ = 2 1 atan2 ( U , Q ) . 使用 atan2 \operatorname{atan2} atan2 arctan ( U / Q ) \arctan(U/Q) arctan ( U / Q ) Q , U Q,U Q , U
3.4 复线偏振
定义
P ≡ Q + i U . \boxed{
P\equiv Q+iU
}. P ≡ Q + i U . 因为
Q = L cos 2 χ , U = L sin 2 χ , Q=L\cos2\chi,
\qquad
U=L\sin2\chi, Q = L cos 2 χ , U = L sin 2 χ , 所以
P = L e 2 i χ . \boxed{
P=Le^{2i\chi}
}. P = L e 2 i χ . 这个形式把线偏振强度放在复数模长中，把偏振角放在复相位中，是理解 Faraday rotation、退偏振和 RM synthesis 的最方便语言。
4. 为什么出现 2 χ 2\chi 2 χ
4.1 偏振方向是一条无箭头的轴
线偏振可以写成
E ( t ) = E 0 cos ω t e ^ χ , \mathbf E(t)
=E_0\cos\omega t\,
\hat{\mathbf e}_\chi, E ( t ) = E 0 cos ω t e ^ χ , 其中
e ^ χ = cos χ x ^ + sin χ y ^ . \hat{\mathbf e}_\chi
=\cos\chi\,\hat{\mathbf x}
+\sin\chi\,\hat{\mathbf y}. e ^ χ = cos χ x ^ + sin χ y ^ . 把偏振角增加 π \pi π
e ^ χ + π = − e ^ χ . \hat{\mathbf e}_{\chi+\pi}
=-\hat{\mathbf e}_\chi. e ^ χ + π = − e ^ χ . 于是
E ′ ( t ) = − E 0 cos ω t e ^ χ = E 0 cos ( ω t + π ) e ^ χ . \mathbf E'(t)
=-E_0\cos\omega t\,\hat{\mathbf e}_\chi
=E_0\cos(\omega t+\pi)\hat{\mathbf e}_\chi. E ′ ( t ) = − E 0 cos ω t e ^ χ = E 0 cos ( ω t + π ) e ^ χ . 这只相当于把振荡相位平移半个周期，电场仍沿同一条直线振荡。因此
χ ≡ χ + π . \boxed{
\chi\equiv\chi+\pi
}. χ ≡ χ + π . 4.2 为什么 Q , U Q,U Q , U 2 χ 2\chi 2 χ
对于线偏振，
E x = E 0 cos χ cos ω t , E y = E 0 sin χ cos ω t . E_x=E_0\cos\chi\cos\omega t,
\qquad
E_y=E_0\sin\chi\cos\omega t. E x = E 0 cos χ cos ω t , E y = E 0 sin χ cos ω t . 于是
Q = ⟨ E x 2 ⟩ − ⟨ E y 2 ⟩ ∝ cos 2 χ − sin 2 χ = cos 2 χ , Q
=\langle E_x^2\rangle-\langle E_y^2\rangle
\propto
\cos^2\chi-\sin^2\chi
=\cos2\chi, Q = ⟨ E x 2 ⟩ − ⟨ E y 2 ⟩ ∝ cos 2 χ − sin 2 χ = cos 2 χ , 而
U = 2 ⟨ E x E y ⟩ ∝ 2 cos χ sin χ = sin 2 χ . U
=2\langle E_xE_y\rangle
\propto
2\cos\chi\sin\chi
=\sin2\chi. U = 2 ⟨ E x E y ⟩ ∝ 2 cos χ sin χ = sin 2 χ . 因此
Q = L cos 2 χ , U = L sin 2 χ . Q=L\cos2\chi,
\qquad
U=L\sin2\chi. Q = L cos 2 χ , U = L sin 2 χ . 当真实偏振轴从 0 ∘ 0^\circ 0 ∘ 180 ∘ 180^\circ 18 0 ∘ ( Q , U ) (Q,U) ( Q , U ) 0 ∘ 0^\circ 0 ∘ 360 ∘ 360^\circ 36 0 ∘ χ \chi χ χ + 180 ∘ \chi+180^\circ χ + 18 0 ∘
4.3 完全偏振为什么满足等式
设两个分量振幅为 a , b a,b a , b δ \delta δ
I = a 2 + b 2 , I=a^2+b^2, I = a 2 + b 2 , Q = a 2 − b 2 , Q=a^2-b^2, Q = a 2 − b 2 , U = 2 a b cos δ , V = 2 a b sin δ . U=2ab\cos\delta,
\qquad
V=2ab\sin\delta. U = 2 ab cos δ , V = 2 ab sin δ . 因此
Q 2 + U 2 + V 2 = ( a 2 − b 2 ) 2 + 4 a 2 b 2 ( cos 2 δ + sin 2 δ ) = ( a 2 − b 2 ) 2 + 4 a 2 b 2 = ( a 2 + b 2 ) 2 = I 2 . \begin{aligned}
Q^2+U^2+V^2
&=(a^2-b^2)^2
+4a^2b^2(\cos^2\delta+\sin^2\delta)\\
&=(a^2-b^2)^2+4a^2b^2\\
&=(a^2+b^2)^2\\
&=I^2.
\end{aligned} Q 2 + U 2 + V 2 = ( a 2 − b 2 ) 2 + 4 a 2 b 2 ( cos 2 δ + sin 2 δ ) = ( a 2 − b 2 ) 2 + 4 a 2 b 2 = ( a 2 + b 2 ) 2 = I 2 . 所以完全偏振时
I 2 = Q 2 + U 2 + V 2 . \boxed{
I^2=Q^2+U^2+V^2
}. I 2 = Q 2 + U 2 + V 2 . 完全偏振不等于完全线偏振。完全圆偏振具有 Q = U = 0 Q=U=0 Q = U = 0 ∣ V ∣ = I |V|=I ∣ V ∣ = I
4.4 部分偏振为什么是不等式
定义
A = ⟨ ∣ E x ∣ 2 ⟩ , B = ⟨ ∣ E y ∣ 2 ⟩ , C = ⟨ E x E y ∗ ⟩ . A=\langle|E_x|^2\rangle,
\qquad
B=\langle|E_y|^2\rangle,
\qquad
C=\langle E_xE_y^*\rangle. A = ⟨ ∣ E x ∣ 2 ⟩ , B = ⟨ ∣ E y ∣ 2 ⟩ , C = ⟨ E x E y ∗ ⟩ . 则
I = A + B , Q = A − B , I=A+B,
\qquad
Q=A-B, I = A + B , Q = A − B , U = 2 Re C , V = 2 Im C . U=2\operatorname{Re}C,
\qquad
V=2\operatorname{Im}C. U = 2 Re C , V = 2 Im C . 所以
Q 2 + U 2 + V 2 = ( A − B ) 2 + 4 ∣ C ∣ 2 , Q^2+U^2+V^2=(A-B)^2+4|C|^2, Q 2 + U 2 + V 2 = ( A − B ) 2 + 4∣ C ∣ 2 , 而
I 2 = ( A + B ) 2 = ( A − B ) 2 + 4 A B . I^2=(A+B)^2=(A-B)^2+4AB. I 2 = ( A + B ) 2 = ( A − B ) 2 + 4 A B . 两者相减：
I 2 − ( Q 2 + U 2 + V 2 ) = 4 ( A B − ∣ C ∣ 2 ) . I^2-(Q^2+U^2+V^2)
=4(AB-|C|^2). I 2 − ( Q 2 + U 2 + V 2 ) = 4 ( A B − ∣ C ∣ 2 ) . Cauchy–Schwarz 不等式给出
∣ C ∣ 2 ≤ ⟨ ∣ E x ∣ 2 ⟩ ⟨ ∣ E y ∣ 2 ⟩ = A B . |C|^2
\le
\langle|E_x|^2\rangle
\langle|E_y|^2\rangle
=AB. ∣ C ∣ 2 ≤ ⟨ ∣ E x ∣ 2 ⟩ ⟨ ∣ E y ∣ 2 ⟩ = A B . 因此
I 2 ≥ Q 2 + U 2 + V 2 . \boxed{
I^2\ge Q^2+U^2+V^2
}. I 2 ≥ Q 2 + U 2 + V 2 . 等号成立当且仅当两个电场分量始终保持固定的复数比例，即振幅比和相位差不随时间改变；这正是单一、固定偏振椭圆的条件。
4.5 偏振度
总偏振度定义为
p = Q 2 + U 2 + V 2 I . \boxed{
p=\frac{\sqrt{Q^2+U^2+V^2}}{I}
}. p = I Q 2 + U 2 + V 2 . 由上面的不等式立即得到
0 ≤ p ≤ 1. 0\le p\le1. 0 ≤ p ≤ 1.
p = 1 p=1 p = 1 0 < p < 1 0<p<1 0 < p < 1 p = 0 p=0 p = 0 Q = U = V = 0 Q=U=V=0 Q = U = V = 0
两个强度相同、互不相干且互相正交的线偏振分量，各自完全偏振，但相加后 Q , U , V Q,U,V Q , U , V
5. RL §8.1：冷、各向同性等离子体中的色散
5.1 模型与电子响应
§8.1 假设没有外部背景磁场，忽略离子运动、碰撞、压力和热运动。电子满足
m e d v d t = − e E . m_e\frac{d\mathbf v}{dt}=-e\mathbf E. m e d t d v = − e E . 使用 e i ( k ⋅ r − ω t ) e^{i(\mathbf k\cdot\mathbf r-\omega t)} e i ( k ⋅ r − ω t )
− i ω m e v = − e E , -i\omega m_e\mathbf v=-e\mathbf E, − iω m e v = − e E , 所以
v = − i e m e ω E . \mathbf v=-\frac{ie}{m_e\omega}\mathbf E. v = − m e ω i e E . 电流密度为
j = − n e e v = i n e e 2 m e ω E ≡ σ ( ω ) E . \mathbf j=-n_e e\mathbf v
=\frac{in_e e^2}{m_e\omega}\mathbf E
\equiv\sigma(\omega)\mathbf E. j = − n e e v = m e ω i n e e 2 E ≡ σ ( ω ) E . 这里的 σ \sigma σ 90 ∘ 90^\circ 9 0 ∘
5.2 介电常数
把电流并入 Ampère–Maxwell 方程，可以定义
ϵ ( ω ) = 1 − 4 π σ i ω . \epsilon(\omega)
=1-\frac{4\pi\sigma}{i\omega}. ϵ ( ω ) = 1 − iω 4 π σ . 代入 σ \sigma σ
ϵ ( ω ) = 1 − 4 π n e e 2 m e ω 2 . \epsilon(\omega)
=1-\frac{4\pi n_e e^2}{m_e\omega^2}. ϵ ( ω ) = 1 − m e ω 2 4 π n e e 2 . 定义
ω p 2 = 4 π n e e 2 m e , \boxed{
\omega_p^2=\frac{4\pi n_e e^2}{m_e}
}, ω p 2 = m e 4 π n e e 2 , 得到
ϵ ( ω ) = 1 − ω p 2 ω 2 . \boxed{
\epsilon(\omega)=1-\frac{\omega_p^2}{\omega^2}
}. ϵ ( ω ) = 1 − ω 2 ω p 2 . 由于电子运动方程中没有任何特殊空间方向，v \mathbf v v E \mathbf E E
ϵ i j = ϵ δ i j . \epsilon_{ij}=\epsilon\,\delta_{ij}. ϵ ij = ϵ δ ij . 所以介质各向同性，两个相互垂直的横向线偏振具有相同传播性质。
5.3 色散关系与截止
横向电磁波满足
c 2 k 2 = ϵ ω 2 . c^2k^2=\epsilon\omega^2. c 2 k 2 = ϵ ω 2 . 代入介电常数：
c 2 k 2 = ω 2 − ω p 2 . c^2k^2
=\omega^2-\omega_p^2. c 2 k 2 = ω 2 − ω p 2 . 因此
ω 2 = ω p 2 + c 2 k 2 . \boxed{
\omega^2=\omega_p^2+c^2k^2
}. ω 2 = ω p 2 + c 2 k 2 . 当 ω > ω p \omega>\omega_p ω > ω p k k k ω < ω p \omega<\omega_p ω < ω p k = i κ k=i\kappa k = iκ e − κ z e^{-\kappa z} e − κ z ω p \omega_p ω p
5.4 相速度与群速度
折射率为
n r = c k ω = 1 − ω p 2 ω 2 < 1. n_r=\frac{ck}{\omega}
=\sqrt{1-\frac{\omega_p^2}{\omega^2}}<1. n r = ω c k = 1 − ω 2 ω p 2 < 1. 相速度：
v p h = ω k = c n r > c . \boxed{
v_{\rm ph}=\frac{\omega}{k}=\frac{c}{n_r}>c
}. v ph = k ω = n r c > c . 群速度：
v g = d ω d k . v_g=\frac{d\omega}{dk}. v g = d k d ω . 对 ω 2 = ω p 2 + c 2 k 2 \omega^2=\omega_p^2+c^2k^2 ω 2 = ω p 2 + c 2 k 2
2 ω d ω d k = 2 c 2 k , 2\omega\frac{d\omega}{dk}=2c^2k, 2 ω d k d ω = 2 c 2 k , 所以
v g = c 1 − ω p 2 ω 2 < c . \boxed{
v_g
=c\sqrt{1-\frac{\omega_p^2}{\omega^2}}<c
}. v g = c 1 − ω 2 ω p 2 < c . 两者满足
v p h v g = c 2 . v_{\rm ph}v_g=c^2. v ph v g = c 2 . 相速度大于 c c c
5.5 脉冲到达时间与 DM
脉冲星宽带信号的到达时间是
t p ( ω ) = ∫ 0 d d s v g . t_p(\omega)=\int_0^d\frac{ds}{v_g}. t p ( ω ) = ∫ 0 d v g d s . 当 ω ≫ ω p \omega\gg\omega_p ω ≫ ω p
1 v g = 1 c ( 1 − ω p 2 ω 2 ) − 1 / 2 ≃ 1 c ( 1 + ω p 2 2 ω 2 ) . \frac{1}{v_g}
=\frac{1}{c}
\left(1-\frac{\omega_p^2}{\omega^2}\right)^{-1/2}
\simeq
\frac{1}{c}
\left(1+\frac{\omega_p^2}{2\omega^2}\right). v g 1 = c 1 ( 1 − ω 2 ω p 2 ) − 1/2 ≃ c 1 ( 1 + 2 ω 2 ω p 2 ) . 因此
t p ≃ d c + 1 2 c ω 2 ∫ 0 d ω p 2 d s . t_p
\simeq
\frac{d}{c}
+\frac{1}{2c\omega^2}
\int_0^d\omega_p^2\,ds. t p ≃ c d + 2 c ω 2 1 ∫ 0 d ω p 2 d s . 代入 ω p 2 = 4 π n e e 2 / m e \omega_p^2=4\pi n_e e^2/m_e ω p 2 = 4 π n e e 2 / m e
t p ≃ d c + 2 π e 2 m e c ω 2 ∫ 0 d n e d s . \boxed{
t_p
\simeq
\frac{d}{c}
+\frac{2\pi e^2}{m_ec\omega^2}
\int_0^d n_e\,ds
}. t p ≃ c d + m e c ω 2 2 π e 2 ∫ 0 d n e d s . 定义
D M = ∫ 0 d n e d s . \boxed{
\mathrm{DM}=\int_0^d n_e\,ds
}. DM = ∫ 0 d n e d s . 于是额外延迟满足
Δ t D M ∝ D M ν − 2 . \boxed{
\Delta t_{\rm DM}\propto\mathrm{DM}\,\nu^{-2}
}. Δ t DM ∝ DM ν − 2 . 对 ω \omega ω
d t p d ω = − 4 π e 2 m e c ω 3 ∫ n e d s . \boxed{
\frac{dt_p}{d\omega}
=
-\frac{4\pi e^2}{m_ec\omega^3}
\int n_e\,ds
}. d ω d t p = − m e c ω 3 4 π e 2 ∫ n e d s . 负号表示频率越高，到达时间越早。其单位是
[ d t p d ω ] = s s − 1 = s 2 . \left[\frac{dt_p}{d\omega}\right]
=\frac{\mathrm s}{\mathrm{s^{-1}}}
=\mathrm{s^2}. [ d ω d t p ] = s − 1 s = s 2 . 5.6 色散、耗散与折射不能混为一谈
色散：v g v_g v g
耗散：介质不可逆地吸收能量，需要介电常数或电导率的耗散部分。
折射：折射率在空间中变化，使传播方向弯曲。
理想均匀冷等离子体可以有色散而没有耗散，也不会因为均匀性本身产生横向偏折。
6. 从各向同性到磁化等离子体
6.1 无磁场时为什么两个偏振等价
没有背景磁场时，
m e v ˙ = − e E . m_e\dot{\mathbf v}=-e\mathbf E. m e v ˙ = − e E . 电子响应可以写成
v = C ( ω ) E , \mathbf v=C(\omega)\mathbf E, v = C ( ω ) E , 其中 C ( ω ) C(\omega) C ( ω )
ϵ i j = ϵ δ i j , \epsilon_{ij}=\epsilon\delta_{ij}, ϵ ij = ϵ δ ij , 所有横向偏振共享同一个
k = ω c ϵ . k=\frac{\omega}{c}\sqrt\epsilon. k = c ω ϵ . 6.2 背景磁场提供特殊方向
加入背景磁场后，运动方程变成
m e d v d t = − e E − e c v × B 0 . m_e\frac{d\mathbf v}{dt}
=-e\mathbf E
-\frac{e}{c}\mathbf v\times\mathbf B_0. m e d t d v = − e E − c e v × B 0 . 令
B 0 = B 0 z ^ , \mathbf B_0=B_0\hat{\mathbf z}, B 0 = B 0 z ^ , 则横向分量满足
− i ω m e v x = − e E x − e B 0 c v y , -i\omega m_ev_x
=-eE_x-\frac{eB_0}{c}v_y, − iω m e v x = − e E x − c e B 0 v y , − i ω m e v y = − e E y + e B 0 c v x . -i\omega m_ev_y
=-eE_y+\frac{eB_0}{c}v_x. − iω m e v y = − e E y + c e B 0 v x . 现在 x , y x,y x , y v × B 0 \mathbf v\times\mathbf B_0 v × B 0
6.3 为什么圆偏振是本征模
定义
E ± = E x ± i E y , v ± = v x ± i v y . E_\pm=E_x\pm iE_y,
\qquad
v_\pm=v_x\pm iv_y. E ± = E x ± i E y , v ± = v x ± i v y . 这两个组合分别代表相反旋向的圆偏振。原本耦合的 x , y x,y x , y
ω − ω B , ω + ω B , \omega-\omega_B,
\qquad
\omega+\omega_B, ω − ω B , ω + ω B , 其中
ω B = e B 0 m e c \boxed{
\omega_B=\frac{eB_0}{m_ec}
} ω B = m e c e B 0 是 cgs 中的电子回旋角频率。
因此两个圆偏振模看到不同的介电常数：
ϵ R , L = 1 − ω p 2 ω ( ω ∓ ω B ) . \boxed{
\epsilon_{R,L}
=1-
\frac{\omega_p^2}
{\omega(\omega\mp\omega_B)}
}. ϵ R , L = 1 − ω ( ω ∓ ω B ) ω p 2 . 一个圆偏振电场与电子自然回旋方向较接近，另一个相反；电子对二者的响应不同。这种现象称为 circular birefringence，圆双折射。
7. k R k_R k R k L k_L k L
7.1 k R k_R k R k L k_L k L
右旋和左旋圆偏振本征模可以分别写成
E R = E R , 0 e i ( k R z − ω t ) , \mathbf E_R
=\mathbf E_{R,0}e^{i(k_Rz-\omega t)}, E R = E R , 0 e i ( k R z − ω t ) , E L = E L , 0 e i ( k L z − ω t ) . \mathbf E_L
=\mathbf E_{L,0}e^{i(k_Lz-\omega t)}. E L = E L , 0 e i ( k L z − ω t ) . k R k_R k R k L k_L k L
k = 2 π λ m e d i u m . k=\frac{2\pi}{\lambda_{\rm medium}}. k = λ medium 2 π . 它们由各自的介电常数决定：
k R , L = ω c ϵ R , L = ω c n R , L . \boxed{
k_{R,L}
=\frac{\omega}{c}\sqrt{\epsilon_{R,L}}
=\frac{\omega}{c}n_{R,L}
}. k R , L = c ω ϵ R , L = c ω n R , L . 在界面处，频率由辐射源和时间平移对称性固定，因此两个模具有相同 ω \omega ω k k k
v p h , R = ω k R , v p h , L = ω k L . v_{{\rm ph},R}=\frac{\omega}{k_R},
\qquad
v_{{\rm ph},L}=\frac{\omega}{k_L}. v ph , R = k R ω , v ph , L = k L ω . 7.2 为什么传播相位是 ∫ k d s \int k\,ds ∫ k d s
平面波的相位为
Φ ( z , t ) = k z − ω t + Φ 0 . \Phi(z,t)=kz-\omega t+\Phi_0. Φ ( z , t ) = k z − ω t + Φ 0 . 在固定时间比较两个位置，传播距离 d d d
Δ Φ = k d . \Delta\Phi=kd. ΔΦ = k d . 因此
k = d ϕ d s , d ϕ = k d s . k=\frac{d\phi}{ds},
\qquad
d\phi=k\,ds. k = d s d ϕ , d ϕ = k d s . 介质不均匀时，k = k ( s ) k=k(s) k = k ( s )
ϕ ≃ ∑ i k i Δ s i ⟶ ϕ = ∫ k ( s ) d s . \phi\simeq\sum_i k_i\Delta s_i
\longrightarrow
\boxed{
\phi=\int k(s)\,ds
}. ϕ ≃ i ∑ k i Δ s i ⟶ ϕ = ∫ k ( s ) d s . 三维形式是
d ϕ = k ⋅ d r . d\phi=\mathbf k\cdot d\mathbf r. d ϕ = k ⋅ d r . 沿射线传播时 k ∥ d r \mathbf k\parallel d\mathbf r k ∥ d r k d s k\,ds k d s
因此
ϕ R = ∫ k R d s , ϕ L = ∫ k L d s . \phi_R=\int k_R\,ds,
\qquad
\phi_L=\int k_L\,ds. ϕ R = ∫ k R d s , ϕ L = ∫ k L d s . 比较同一时刻、同一位置的两个模时，它们共同的 − ω t -\omega t − ω t
ϕ R − ϕ L = ∫ ( k R − k L ) d s . \phi_R-\phi_L
=\int(k_R-k_L)\,ds. ϕ R − ϕ L = ∫ ( k R − k L ) d s . 7.3 线偏振为什么会旋转
线偏振可以分解成等振幅的两个相反圆偏振：
linear = R + L . \text{linear}=R+L. linear = R + L . 开始时若二者相位合适，合成电场沿一条固定直线振荡。传播以后，k R ≠ k L k_R\neq k_L k R = k L
几何上，线偏振角的旋转量是圆偏振相对相位差的一半：
Δ χ = 1 2 ( ϕ R − ϕ L ) = 1 2 ∫ ( k R − k L ) d s . \boxed{
\Delta\chi
=\frac12(\phi_R-\phi_L)
=\frac12\int(k_R-k_L)\,ds
}. Δ χ = 2 1 ( ϕ R − ϕ L ) = 2 1 ∫ ( k R − k L ) d s . 因子 1 / 2 1/2 1/2 P = L e 2 i χ P=Le^{2i\chi} P = L e 2 i χ Δ χ \Delta\chi Δ χ Q − U Q-U Q − U 2 Δ χ 2\Delta\chi 2Δ χ
8. RL §8.2：Faraday rotation 公式的完整推导
8.1 从介电常数到波数
从
ϵ R , L = 1 − ω p 2 ω ( ω ∓ ω B ) \epsilon_{R,L}
=1-
\frac{\omega_p^2}
{\omega(\omega\mp\omega_B)} ϵ R , L = 1 − ω ( ω ∓ ω B ) ω p 2 开始。首先利用 ω ≫ ω B \omega\gg\omega_B ω ≫ ω B
1 ω ( ω ∓ ω B ) = 1 ω 2 1 1 ∓ ω B / ω ≃ 1 ω 2 ( 1 ± ω B ω ) . \frac{1}{\omega(\omega\mp\omega_B)}
=\frac{1}{\omega^2}
\frac{1}{1\mp\omega_B/\omega}
\simeq
\frac{1}{\omega^2}
\left(1\pm\frac{\omega_B}{\omega}\right). ω ( ω ∓ ω B ) 1 = ω 2 1 1 ∓ ω B / ω 1 ≃ ω 2 1 ( 1 ± ω ω B ) . 所以
ϵ R , L ≃ 1 − ω p 2 ω 2 ( 1 ± ω B ω ) . \epsilon_{R,L}
\simeq
1-
\frac{\omega_p^2}{\omega^2}
\left(1\pm\frac{\omega_B}{\omega}\right). ϵ R , L ≃ 1 − ω 2 ω p 2 ( 1 ± ω ω B ) . 再用
1 − x ≃ 1 − x 2 , ∣ x ∣ ≪ 1 , \sqrt{1-x}\simeq1-\frac{x}{2},
\qquad |x|\ll1, 1 − x ≃ 1 − 2 x , ∣ x ∣ ≪ 1 , 得到
k R , L ≃ ω c [ 1 − ω p 2 2 ω 2 ( 1 ∓ ω B ω ) ] , k_{R,L}
\simeq
\frac{\omega}{c}
\left[
1-
\frac{\omega_p^2}{2\omega^2}
\left(1\mp\frac{\omega_B}{\omega}\right)
\right], k R , L ≃ c ω [ 1 − 2 ω 2 ω p 2 ( 1 ∓ ω ω B ) ] , 其中上下符号按 RL 的旋向与正角定义排列。若交换左右圆偏振命名，最终旋转角的符号一起反转，但大小不变。
8.2 计算两个波数之差
相减后，与磁场无关的共同项抵消：
k R − k L = ω c ω p 2 2 ω 2 [ ( 1 + ω B ω ) − ( 1 − ω B ω ) ] = ω c ω p 2 2 ω 2 2 ω B ω = ω p 2 ω B c ω 2 . \begin{aligned}
k_R-k_L
&=\frac{\omega}{c}
\frac{\omega_p^2}{2\omega^2}
\left[
\left(1+\frac{\omega_B}{\omega}\right)
-
\left(1-\frac{\omega_B}{\omega}\right)
\right]\\
&=\frac{\omega}{c}
\frac{\omega_p^2}{2\omega^2}
\frac{2\omega_B}{\omega}\\
&=\boxed{
\frac{\omega_p^2\omega_B}{c\omega^2}
}.
\end{aligned} k R − k L = c ω 2 ω 2 ω p 2 [ ( 1 + ω ω B ) − ( 1 − ω ω B ) ] = c ω 2 ω 2 ω p 2 ω 2 ω B = c ω 2 ω p 2 ω B . 这个结果显示，圆双折射同时需要自由电子和磁场：
k R − k L ∝ ω p 2 ω B ∝ n e B ∥ . k_R-k_L\propto\omega_p^2\omega_B
\propto n_eB_\parallel. k R − k L ∝ ω p 2 ω B ∝ n e B ∥ . 8.3 得到 Faraday rotation 角
代入
Δ χ = 1 2 ∫ ( k R − k L ) d s \Delta\chi
=\frac12\int(k_R-k_L)\,ds Δ χ = 2 1 ∫ ( k R − k L ) d s 得到
Δ χ = 1 2 c ω 2 ∫ ω p 2 ω B d s . \Delta\chi
=\frac{1}{2c\omega^2}
\int\omega_p^2\omega_B\,ds. Δ χ = 2 c ω 2 1 ∫ ω p 2 ω B d s . 在 cgs 中
ω p 2 = 4 π n e e 2 m e , ω B = e B ∥ m e c . \omega_p^2=\frac{4\pi n_e e^2}{m_e},
\qquad
\omega_B=\frac{eB_\parallel}{m_ec}. ω p 2 = m e 4 π n e e 2 , ω B = m e c e B ∥ . 两者相乘：
ω p 2 ω B = 4 π n e e 3 B ∥ m e 2 c . \omega_p^2\omega_B
=\frac{4\pi n_e e^3B_\parallel}{m_e^2c}. ω p 2 ω B = m e 2 c 4 π n e e 3 B ∥ . 所以
Δ χ = 1 2 c ω 2 ∫ 4 π n e e 3 B ∥ m e 2 c d s = 2 π e 3 m e 2 c 2 ω 2 ∫ n e B ∥ d s . \begin{aligned}
\Delta\chi
&=\frac{1}{2c\omega^2}
\int
\frac{4\pi n_e e^3B_\parallel}{m_e^2c}\,ds\\
&=\boxed{
\frac{2\pi e^3}{m_e^2c^2\omega^2}
\int n_eB_\parallel\,ds
}.
\end{aligned} Δ χ = 2 c ω 2 1 ∫ m e 2 c 4 π n e e 3 B ∥ d s = m e 2 c 2 ω 2 2 π e 3 ∫ n e B ∥ d s . 2 π 2\pi 2 π 4 π 4\pi 4 π 1 / 2 1/2 1/2
8.4 为什么是 λ 2 \lambda^2 λ 2
利用
ω = 2 π c λ , 1 ω 2 = λ 2 4 π 2 c 2 , \omega=\frac{2\pi c}{\lambda},
\qquad
\frac{1}{\omega^2}=\frac{\lambda^2}{4\pi^2c^2}, ω = λ 2 π c , ω 2 1 = 4 π 2 c 2 λ 2 , 得到
Δ χ = e 3 λ 2 2 π m e 2 c 4 ∫ n e B ∥ d s . \boxed{
\Delta\chi
=\frac{e^3\lambda^2}{2\pi m_e^2c^4}
\int n_eB_\parallel\,ds
}. Δ χ = 2 π m e 2 c 4 e 3 λ 2 ∫ n e B ∥ d s . 因此
χ ( λ 2 ) = χ 0 + R M λ 2 . \boxed{
\chi(\lambda^2)=\chi_0+\mathrm{RM}\lambda^2
}. χ ( λ 2 ) = χ 0 + RM λ 2 . 低频、长波长辐射的旋转最明显；波长增加两倍，旋转角增加四倍。
8.5 Faraday rotation 是什么，不是什么
Faraday rotation 是磁化等离子体的圆双折射造成的线偏振轴旋转。它不是：
整束光的传播方向弯折；
介质把强度机械地“转走”；
只要有磁场就必然出现的效应。
基础公式要求同时有
n e ≠ 0 , B ∥ ≠ 0. n_e\neq0,
\qquad
B_\parallel\neq0. n e = 0 , B ∥ = 0. 理想、均匀、无耗散的 Faraday screen 可以旋转偏振角而不改变总强度 I I I
9. RM、DM 与视线平均磁场
9.1 RM 的观测定义与物理意义
由
χ ( λ 2 ) = χ 0 + R M λ 2 \chi(\lambda^2)=\chi_0+\mathrm{RM}\lambda^2 χ ( λ 2 ) = χ 0 + RM λ 2 可知
R M = d χ d λ 2 . \boxed{
\mathrm{RM}=\frac{d\chi}{d\lambda^2}
}. RM = d λ 2 d χ . RM 是偏振角对波长平方的斜率。常用天文单位下：
R M = 0.812 ∫ n e ( c m − 3 ) B ∥ ( μ G ) d l ( p c ) \boxed{
\mathrm{RM}
=0.812
\int
n_e(\mathrm{cm^{-3}})
B_\parallel(\mu\mathrm G)
\,dl(\mathrm{pc})
} RM = 0.812 ∫ n e ( c m − 3 ) B ∥ ( μ G ) d l ( pc ) 单位为 r a d m − 2 \mathrm{rad\,m^{-2}} rad m − 2
因此 RM 测量的是自由电子密度加权的、有方向的视线磁场积分，而不是单独的电子密度或单独的磁场强度。
9.2 RM 的正负与磁场反向
B ∥ B_\parallel B ∥
若磁场沿途反向，正负贡献会抵消：
∫ n e B ∥ d l = ∑ i ∫ i n e B ∥ d l . \int n_eB_\parallel\,dl
=\sum_i\int_i n_eB_\parallel\,dl. ∫ n e B ∥ d l = i ∑ ∫ i n e B ∥ d l . 所以小 RM 不一定意味着磁场弱，也可能意味着多次场反向。
9.3 与 DM 结合
DM 是
D M = ∫ n e ( c m − 3 ) d l ( p c ) \boxed{
\mathrm{DM}
=\int n_e(\mathrm{cm^{-3}})\,dl(\mathrm{pc})
} DM = ∫ n e ( c m − 3 ) d l ( pc ) 单位为 p c c m − 3 \mathrm{pc\,cm^{-3}} pc c m − 3
定义电子密度加权平均视线磁场：
⟨ B ∥ ⟩ n e ≡ ∫ n e B ∥ d l ∫ n e d l . \langle B_\parallel\rangle_{n_e}
\equiv
\frac{\int n_eB_\parallel\,dl}
{\int n_e\,dl}. ⟨ B ∥ ⟩ n e ≡ ∫ n e d l ∫ n e B ∥ d l . 利用 RM 和 DM：
⟨ B ∥ ⟩ n e = 1 0.812 R M D M μ G . \langle B_\parallel\rangle_{n_e}
=\frac{1}{0.812}
\frac{\mathrm{RM}}{\mathrm{DM}}\,\mu\mathrm G. ⟨ B ∥ ⟩ n e = 0.812 1 DM RM μ G . 因为
1 0.812 = 1.2315 ≃ 1.232 , \frac{1}{0.812}=1.2315\simeq1.232, 0.812 1 = 1.2315 ≃ 1.232 , 所以
⟨ B ∥ ⟩ n e ≃ 1.232 R M D M μ G . \boxed{
\langle B_\parallel\rangle_{n_e}
\simeq
1.232
\frac{\mathrm{RM}}{\mathrm{DM}}\,\mu\mathrm G
}. ⟨ B ∥ ⟩ n e ≃ 1.232 DM RM μ G . 1.232 1.232 1.232 0.812 0.812 0.812
9.4 0.812 0.812 0.812
cgs 形式为
R M = e 3 2 π m e 2 c 4 ∫ n e B ∥ d l , \mathrm{RM}
=\frac{e^3}{2\pi m_e^2c^4}
\int n_eB_\parallel\,dl, RM = 2 π m e 2 c 4 e 3 ∫ n e B ∥ d l , 其中原始单位是 n e n_e n e c m − 3 \mathrm{cm^{-3}} c m − 3 B B B d l dl d l λ \lambda λ
e 3 2 π m e 2 c 4 = 2.6312 × 10 − 17 \frac{e^3}{2\pi m_e^2c^4}
=2.6312\times10^{-17} 2 π m e 2 c 4 e 3 = 2.6312 × 1 0 − 17 相应的 cgs 数值因子。转换到 λ \lambda λ B B B μ G \mu\mathrm G μ G
λ c m 2 = 10 4 λ m 2 , \lambda_{\rm cm}^2=10^4\lambda_{\rm m}^2, λ cm 2 = 1 0 4 λ m 2 , 1 μ G = 10 − 6 G , 1\,\mu\mathrm G=10^{-6}\,\mathrm G, 1 μ G = 1 0 − 6 G , 1 p c = 3.08568 × 10 18 c m . 1\,\mathrm{pc}=3.08568\times10^{18}\,\mathrm{cm}. 1 pc = 3.08568 × 1 0 18 cm . 因此
C a s t r o = ( 2.6312 × 10 − 17 ) ( 10 4 ) ( 10 − 6 ) ( 3.08568 × 10 18 ) = 0.8119 ≃ 0.812. \begin{aligned}
C_{\rm astro}
&=(2.6312\times10^{-17})
(10^4)(10^{-6})(3.08568\times10^{18})\\
&=0.8119\simeq0.812.
\end{aligned} C astro = ( 2.6312 × 1 0 − 17 ) ( 1 0 4 ) ( 1 0 − 6 ) ( 3.08568 × 1 0 18 ) = 0.8119 ≃ 0.812. 10. Faraday rotation 的扩展：退偏振、Faraday depth 与 RM synthesis
10.1 简单外部屏
若所有偏振辐射先由背景源产生，再穿过一个不发射的前景磁化等离子体屏幕，则
P ( λ 2 ) = P 0 e 2 i R M λ 2 . P(\lambda^2)
=P_0e^{2i\mathrm{RM}\lambda^2}. P ( λ 2 ) = P 0 e 2 i RM λ 2 . 偏振强度 ∣ P ∣ |P| ∣ P ∣ χ = χ 0 + R M λ 2 \chi=\chi_0+\mathrm{RM}\lambda^2 χ = χ 0 + RM λ 2
10.2 三类常见退偏振
Bandwidth depolarization： 一个频率通道内部的 λ 2 \lambda^2 λ 2 Q , U Q,U Q , U
Beam depolarization： 一个望远镜波束内有多个未分辨的 RM。不同区域的偏振向量方向不同，空间平均后 ∣ P ∣ |P| ∣ P ∣
Differential/internal Faraday rotation： 发射和旋转发生在同一区域。不同深度的辐射经历不同旋转量，沿视线相加时发生抵消。
10.3 Faraday depth
从观察者到路径位置 s s s
ϕ ( s ) = 0.812 ∫ 0 s n e ( c m − 3 ) B ∥ ( μ G ) d l ( p c ) \boxed{
\phi(s)
=0.812
\int_0^s
n_e(\mathrm{cm^{-3}})
B_\parallel(\mu\mathrm G)
\,dl(\mathrm{pc})
} ϕ ( s ) = 0.812 ∫ 0 s n e ( c m − 3 ) B ∥ ( μ G ) d l ( pc ) 单位为 r a d m − 2 \mathrm{rad\,m^{-2}} rad m − 2
简单外部屏中可以把观测 RM 与单一 Faraday depth 等同。若视线上有发射、磁场反向或多个成分，观测到的单一斜率未必等于任何唯一物理深度。
10.4 推导 RM synthesis 的基本式
复线偏振是
P = Q + i U = L e 2 i χ . P=Q+iU=Le^{2i\chi}. P = Q + i U = L e 2 i χ . 位于 Faraday depth ϕ \phi ϕ
d P 0 = F ( ϕ ) d ϕ . dP_0=F(\phi)\,d\phi. d P 0 = F ( ϕ ) d ϕ . 传播到观察者时，它的实际偏振角旋转
Δ χ = ϕ λ 2 . \Delta\chi=\phi\lambda^2. Δ χ = ϕ λ 2 . 由于复线偏振的相位是 2 χ 2\chi 2 χ
d P ( λ 2 ) = F ( ϕ ) e 2 i ϕ λ 2 d ϕ . dP(\lambda^2)
=F(\phi)e^{2i\phi\lambda^2}\,d\phi. d P ( λ 2 ) = F ( ϕ ) e 2 i ϕ λ 2 d ϕ . 把所有 Faraday depth 的复偏振向量相加：
P ( λ 2 ) = ∫ − ∞ ∞ F ( ϕ ) e 2 i ϕ λ 2 d ϕ . \boxed{
P(\lambda^2)
=\int_{-\infty}^{\infty}
F(\phi)e^{2i\phi\lambda^2}\,d\phi
}. P ( λ 2 ) = ∫ − ∞ ∞ F ( ϕ ) e 2 i ϕ λ 2 d ϕ . F ( ϕ ) F(\phi) F ( ϕ )
若只有单一前景屏，
F ( ϕ ) = P 0 δ ( ϕ − ϕ 0 ) , F(\phi)=P_0\delta(\phi-\phi_0), F ( ϕ ) = P 0 δ ( ϕ − ϕ 0 ) , 则
P ( λ 2 ) = P 0 e 2 i ϕ 0 λ 2 , P(\lambda^2)=P_0e^{2i\phi_0\lambda^2}, P ( λ 2 ) = P 0 e 2 i ϕ 0 λ 2 , 回到简单 λ 2 \lambda^2 λ 2
这个积分具有 Fourier transform 的形式。RM synthesis 利用多频率的 Q ( λ 2 ) , U ( λ 2 ) Q(\lambda^2),U(\lambda^2) Q ( λ 2 ) , U ( λ 2 ) F ( ϕ ) F(\phi) F ( ϕ ) λ 2 \lambda^2 λ 2
11. 等离子体折射：经典电子半径、相位屏与偏折角
11.1 折射率为什么随电子密度变化
冷、非磁化等离子体的折射率是
n r = 1 − ω p 2 ω 2 ≃ 1 − ω p 2 2 ω 2 . n_r
=\sqrt{1-\frac{\omega_p^2}{\omega^2}}
\simeq
1-\frac{\omega_p^2}{2\omega^2}. n r = 1 − ω 2 ω p 2 ≃ 1 − 2 ω 2 ω p 2 . 因为
ω p 2 ∝ n e , \omega_p^2\propto n_e, ω p 2 ∝ n e , 电子密度越高，n r n_r n r
11.2 经典电子半径
Gaussian-cgs 中定义
r e = e 2 m e c 2 . \boxed{
r_e=\frac{e^2}{m_ec^2}
}. r e = m e c 2 e 2 . SI 中相同长度写成
r e = e 2 4 π ϵ 0 m e c 2 . \boxed{
r_e=\frac{e^2}{4\pi\epsilon_0m_ec^2}
}. r e = 4 π ϵ 0 m e c 2 e 2 . 数值为
r e = 2.81794 × 10 − 15 m = 2.81794 × 10 − 13 c m . \boxed{
r_e=2.81794\times10^{-15}\,\mathrm m
=2.81794\times10^{-13}\,\mathrm{cm}
}. r e = 2.81794 × 1 0 − 15 m = 2.81794 × 1 0 − 13 cm . 它可以通过把静电能量尺度与电子静止质量能量相等来理解：
e 2 4 π ϵ 0 r e = m e c 2 . \frac{e^2}{4\pi\epsilon_0r_e}=m_ec^2. 4 π ϵ 0 r e e 2 = m e c 2 . r e r_e r e
σ T = 8 π 3 r e 2 . \boxed{
\sigma_T=\frac{8\pi}{3}r_e^2
}. σ T = 3 8 π r e 2 . 11.3 等离子体造成的相位
相对于真空，传播路径的附加相位是
δ ϕ = ∫ ( k − k 0 ) d s , \delta\phi
=\int(k-k_0)\,ds, δ ϕ = ∫ ( k − k 0 ) d s , 其中
k = n r ω c , k 0 = ω c . k=\frac{n_r\omega}{c},
\qquad
k_0=\frac{\omega}{c}. k = c n r ω , k 0 = c ω . 因此
δ ϕ = ω c ∫ ( n r − 1 ) d s . \delta\phi
=\frac{\omega}{c}
\int(n_r-1)\,ds. δ ϕ = c ω ∫ ( n r − 1 ) d s . 使用高频展开：
δ ϕ = − 1 2 c ω ∫ ω p 2 d s . \delta\phi
=-\frac{1}{2c\omega}
\int\omega_p^2\,ds. δ ϕ = − 2 c ω 1 ∫ ω p 2 d s . 代入 ω p 2 = 4 π n e e 2 / m e \omega_p^2=4\pi n_e e^2/m_e ω p 2 = 4 π n e e 2 / m e
N e = ∫ n e d s , N_e=\int n_e\,ds, N e = ∫ n e d s , 再利用 λ = 2 π c / ω \lambda=2\pi c/\omega λ = 2 π c / ω
δ ϕ = − 2 π e 2 m e c ω N e = − e 2 m e c 2 λ N e = − r e λ N e . \begin{aligned}
\delta\phi
&=-\frac{2\pi e^2}{m_ec\omega}N_e\\
&=-\frac{e^2}{m_ec^2}\lambda N_e\\
&=\boxed{-r_e\lambda N_e}.
\end{aligned} δ ϕ = − m e c ω 2 π e 2 N e = − m e c 2 e 2 λ N e = − r e λ N e . 负相位表示相位速度大于真空光速，并不表示脉冲或信息提前到达；群速度仍小于 c c c
11.4 相位梯度为什么产生偏折
一般波场写成
E ( r ) ∝ e i Φ ( r ) . E(\mathbf r)\propto e^{i\Phi(\mathbf r)}. E ( r ) ∝ e i Φ ( r ) . 局部波矢是
k = ∇ Φ . \boxed{
\mathbf k=\nabla\Phi
}. k = ∇Φ . 若波原来沿 z z z
Φ ( r ) = k 0 z + δ ϕ ( x ⊥ ) . \Phi(\mathbf r)
=k_0z+\delta\phi(\mathbf x_\perp). Φ ( r ) = k 0 z + δ ϕ ( x ⊥ ) . 于是横向波矢为
k ⊥ = ∇ ⊥ δ ϕ . \mathbf k_\perp
=\nabla_\perp\delta\phi. k ⊥ = ∇ ⊥ δ ϕ . 小角度下
α ≃ k ⊥ k 0 = 1 k 0 ∇ ⊥ δ ϕ . \boldsymbol\alpha
\simeq
\frac{\mathbf k_\perp}{k_0}
=\frac{1}{k_0}\nabla_\perp\delta\phi. α ≃ k 0 k ⊥ = k 0 1 ∇ ⊥ δ ϕ . 因为
k 0 = 2 π λ , k_0=\frac{2\pi}{\lambda}, k 0 = λ 2 π , 并且
δ ϕ = − r e λ N e , \delta\phi=-r_e\lambda N_e, δ ϕ = − r e λ N e , 所以
α ≃ − r e λ 2 2 π ∇ ⊥ N e . \boxed{
\boldsymbol\alpha
\simeq
-\frac{r_e\lambda^2}{2\pi}
\nabla_\perp N_e
}. α ≃ − 2 π r e λ 2 ∇ ⊥ N e . 两个 λ \lambda λ δ ϕ ∝ λ \delta\phi\propto\lambda δ ϕ ∝ λ 1 / k 0 = λ / ( 2 π ) 1/k_0=\lambda/(2\pi) 1/ k 0 = λ / ( 2 π )
11.5 负号的意义
高电子密度使折射率降低。射线趋向较高折射率区域，因此电子过密结构通常使射线远离中心，表现为发散等离子体透镜；电子欠密结构可能会聚。
对中心过密结构，在中心外侧
∇ ⊥ N e \nabla_\perp N_e ∇ ⊥ N e 指向高密度中心，而
− ∇ ⊥ N e -\nabla_\perp N_e − ∇ ⊥ N e 指向外侧，正好给出发散方向。
11.6 与几何光学射线方程一致
射线方程为
d d s ( n r s ^ ) = ∇ n r . \frac{d}{ds}(n_r\hat{\mathbf s})=\nabla n_r. d s d ( n r s ^ ) = ∇ n r . 小角度且 n r ≃ 1 n_r\simeq1 n r ≃ 1
α ≃ ∫ ∇ ⊥ n r d s . \boldsymbol\alpha
\simeq
\int\nabla_\perp n_r\,ds. α ≃ ∫ ∇ ⊥ n r d s . 而
n r − 1 ≃ − r e λ 2 2 π n e . n_r-1
\simeq
-\frac{r_e\lambda^2}{2\pi}n_e. n r − 1 ≃ − 2 π r e λ 2 n e . 所以
α ≃ − r e λ 2 2 π ∇ ⊥ ∫ n e d s , \boldsymbol\alpha
\simeq
-\frac{r_e\lambda^2}{2\pi}
\nabla_\perp\int n_e\,ds, α ≃ − 2 π r e λ 2 ∇ ⊥ ∫ n e d s , 与相位屏推导相同。
12. 散射、脉冲展宽与 scintillation
12.1 从折射到多径传播
真实星际等离子体包含许多尺度的随机电子密度涨落。不同横向位置产生不同相位和偏折角，因此同一个点源的波可以沿多条路径到达观察者。
不同路径具有不同：
因此出现：
angular broadening：点源图像被散射成有限角大小；
pulse broadening：短脉冲后出现晚到的散射尾；
interference：多条相干路径形成频率和空间上的亮暗图样；
scintillation：观察者或介质运动穿过该图样时，强度随时间和频率变化。
12.2 Dispersion、scattering 和 scintillation 的区别
现象 所需介质结构 主要观测结果 Dispersion 平均自由电子柱密度 到达时间按 ν − 2 \nu^{-2} ν − 2 Refraction 有组织的横向 N e N_e N e 传播方向、像位置或放大率改变 Scattering 随机小尺度密度涨落 多径、角展宽和脉冲尾 Scintillation 多径干涉或大尺度聚焦/散焦 强度随时间和频率变化 Faraday rotation n e n_e n e B ∥ B_\parallel B ∥ 偏振角按 λ 2 \lambda^2 λ 2
均匀等离子体可产生 dispersion，却不会仅凭均匀性产生横向 scattering。
12.3 Diffractive 与 refractive scintillation
**Diffractive interstellar scintillation（DISS）**通常来自较小尺度相位结构：
变化较快；
频率相关带宽较窄；
与强多径干涉、脉冲展宽和角展宽直接相关。
**Refractive interstellar scintillation（RISS）**通常来自较大尺度结构：
变化较慢；
频带较宽；
更像大尺度聚焦、散焦和像漂移。
二者不是完全独立的介质，而是同一湍流密度场在不同空间尺度上的表现。
12.4 两条路径的频率干涉
设两条路径的额外时间差为 τ \tau τ
E ( ν ) = A 1 + A 2 e − 2 π i ν τ . E(\nu)=A_1+A_2e^{-2\pi i\nu\tau}. E ( ν ) = A 1 + A 2 e − 2 π i ν τ . 强度中的干涉项随
cos ( 2 π ν τ + ϕ 0 ) \cos(2\pi\nu\tau+\phi_0) cos ( 2 π ν τ + ϕ 0 ) 变化。把频率改变 Δ ν \Delta\nu Δ ν
Δ ( Δ ϕ ) = 2 π Δ ν τ . \Delta(\Delta\phi)
=2\pi\Delta\nu\tau. Δ ( Δ ϕ ) = 2 π Δ ν τ . 当
2 π Δ ν τ ∼ 1 2\pi\Delta\nu\tau\sim1 2 π Δ ν τ ∼ 1 时，干涉关系显著改变。因此时间延迟越长，频谱结构越细。
12.5 指数散射尾与去相关带宽
常用的脉冲展宽函数是单边指数：
P ( τ ) = 1 τ s c e − τ / τ s c , τ ≥ 0. P(\tau)
=\frac{1}{\tau_{\rm sc}}
e^{-\tau/\tau_{\rm sc}},
\qquad \tau\ge0. P ( τ ) = τ sc 1 e − τ / τ sc , τ ≥ 0. 两个相差 Δ ν \Delta\nu Δ ν
C E ( Δ ν ) = ∫ 0 ∞ P ( τ ) e − 2 π i Δ ν τ d τ . C_E(\Delta\nu)
=\int_0^\infty
P(\tau)e^{-2\pi i\Delta\nu\tau}\,d\tau. C E ( Δ ν ) = ∫ 0 ∞ P ( τ ) e − 2 π i Δ ν τ d τ . 代入指数分布：
C E ( Δ ν ) = 1 τ s c ∫ 0 ∞ e − [ 1 / τ s c + 2 π i Δ ν ] τ d τ = 1 1 + 2 π i Δ ν τ s c . \begin{aligned}
C_E(\Delta\nu)
&=\frac{1}{\tau_{\rm sc}}
\int_0^\infty
e^{-[1/\tau_{\rm sc}+2\pi i\Delta\nu]\tau}\,d\tau\\
&=\frac{1}{1+2\pi i\Delta\nu\tau_{\rm sc}}.
\end{aligned} C E ( Δ ν ) = τ sc 1 ∫ 0 ∞ e − [ 1/ τ sc + 2 π i Δ ν ] τ d τ = 1 + 2 π i Δ ν τ sc 1 . 相应的强度相关形状近似为
∣ C E ( Δ ν ) ∣ 2 = 1 1 + ( 2 π Δ ν τ s c ) 2 . |C_E(\Delta\nu)|^2
=\frac{1}
{1+(2\pi\Delta\nu\tau_{\rm sc})^2}. ∣ C E ( Δ ν ) ∣ 2 = 1 + ( 2 π Δ ν τ sc ) 2 1 . 若把半高宽定义为 Δ ν d \Delta\nu_{\rm d} Δ ν d 1 / 2 1/2 1/2
2 π Δ ν d τ s c = 1. 2\pi\Delta\nu_{\rm d}\tau_{\rm sc}=1. 2 π Δ ν d τ sc = 1. 因此
Δ ν d = 1 2 π τ s c . \boxed{
\Delta\nu_{\rm d}
=\frac{1}{2\pi\tau_{\rm sc}}
}. Δ ν d = 2 π τ sc 1 . 更一般地写作
2 π Δ ν d τ s c = C 1 , 2\pi\Delta\nu_{\rm d}\tau_{\rm sc}=C_1, 2 π Δ ν d τ sc = C 1 , 其中 C 1 C_1 C 1
Δ ν d ∝ τ s c − 1 . \boxed{
\Delta\nu_{\rm d}\propto\tau_{\rm sc}^{-1}
}. Δ ν d ∝ τ sc − 1 . 12.6 典型频率趋势
由于等离子体相位 ∣ δ ϕ ∣ ∝ λ |\delta\phi|\propto\lambda ∣ δ ϕ ∣ ∝ λ ∣ α ∣ ∝ λ 2 |\alpha|\propto\lambda^2 ∣ α ∣ ∝ λ 2
τ s c ∝ ν − 4.4 , Δ ν d ∝ ν 4.4 . \tau_{\rm sc}\propto\nu^{-4.4},
\qquad
\Delta\nu_{\rm d}\propto\nu^{4.4}. τ sc ∝ ν − 4.4 , Δ ν d ∝ ν 4.4 . 指数会随湍流谱、内外尺度、屏幕位置、各向异性和多屏结构改变，不能把 4.4 4.4 4.4
13. 习题 8.3：用色散和 Faraday rotation 求平均磁场
13.1 题目给定量
脉冲偏振源的到达时间和 Faraday rotation 对角频率的导数大小为
∣ d t p d ω ∣ = 1.1 × 10 − 5 s 2 , \left|\frac{dt_p}{d\omega}\right|
=1.1\times10^{-5}\,\mathrm{s^2}, d ω d t p = 1.1 × 1 0 − 5 s 2 , ∣ d Δ χ d ω ∣ = 1.9 × 10 − 4 s . \left|\frac{d\Delta\chi}{d\omega}\right|
=1.9\times10^{-4}\,\mathrm s. d ω d Δ χ = 1.9 × 1 0 − 4 s . 测量位于 ω = 10 8 s − 1 \omega=10^8\,\mathrm{s^{-1}} ω = 1 0 8 s − 1
⟨ B ∥ ⟩ = ∫ n e B ∥ d s ∫ n e d s . \langle B_\parallel\rangle
=\frac{\int n_eB_\parallel ds}
{\int n_e ds}. ⟨ B ∥ ⟩ = ∫ n e d s ∫ n e B ∥ d s . 13.2 色散导数
§8.1 给出
t p ≃ d c + 2 π e 2 m e c ω 2 ∫ n e d s . t_p
\simeq
\frac{d}{c}
+\frac{2\pi e^2}{m_ec\omega^2}
\int n_e\,ds. t p ≃ c d + m e c ω 2 2 π e 2 ∫ n e d s . 因此
d t p d ω = − 4 π e 2 m e c ω 3 ∫ n e d s . \boxed{
\frac{dt_p}{d\omega}
=-\frac{4\pi e^2}{m_ec\omega^3}
\int n_e\,ds
}. d ω d t p = − m e c ω 3 4 π e 2 ∫ n e d s . 13.3 Faraday rotation 导数
§8.2 给出
Δ χ = 2 π e 3 m e 2 c 2 ω 2 ∫ n e B ∥ d s . \Delta\chi
=\frac{2\pi e^3}{m_e^2c^2\omega^2}
\int n_eB_\parallel\,ds. Δ χ = m e 2 c 2 ω 2 2 π e 3 ∫ n e B ∥ d s . 对 ω \omega ω
d Δ χ d ω = − 4 π e 3 m e 2 c 2 ω 3 ∫ n e B ∥ d s . \boxed{
\frac{d\Delta\chi}{d\omega}
=-\frac{4\pi e^3}{m_e^2c^2\omega^3}
\int n_eB_\parallel\,ds
}. d ω d Δ χ = − m e 2 c 2 ω 3 4 π e 3 ∫ n e B ∥ d s . 13.4 两式相除
d Δ χ / d ω d t p / d ω = e m e c ∫ n e B ∥ d s ∫ n e d s . \frac{d\Delta\chi/d\omega}
{dt_p/d\omega}
=
\frac{e}{m_ec}
\frac{\int n_eB_\parallel ds}
{\int n_e ds}. d t p / d ω d Δ χ / d ω = m e c e ∫ n e d s ∫ n e B ∥ d s . 所以
⟨ B ∥ ⟩ = m e c e d Δ χ / d ω d t p / d ω . \boxed{
\langle B_\parallel\rangle
=\frac{m_ec}{e}
\frac{d\Delta\chi/d\omega}
{dt_p/d\omega}
}. ⟨ B ∥ ⟩ = e m e c d t p / d ω d Δ χ / d ω . 未知距离、电子柱密度和公共的 ω − 3 \omega^{-3} ω − 3 ω = 10 8 s − 1 \omega=10^8\,\mathrm{s^{-1}} ω = 1 0 8 s − 1
13.5 数值计算
导数之比为
1.9 × 10 − 4 s 1.1 × 10 − 5 s 2 = 17.27 s − 1 . \frac{1.9\times10^{-4}\,\mathrm s}
{1.1\times10^{-5}\,\mathrm{s^2}}
=17.27\,\mathrm{s^{-1}}. 1.1 × 1 0 − 5 s 2 1.9 × 1 0 − 4 s = 17.27 s − 1 . cgs 中
e m e c = 1.7588 × 10 7 s − 1 G − 1 . \frac{e}{m_ec}
=1.7588\times10^7
\,\mathrm{s^{-1}\,G^{-1}}. m e c e = 1.7588 × 1 0 7 s − 1 G − 1 . 因此
⟨ B ∥ ⟩ = 17.27 1.7588 × 10 7 G = 9.82 × 10 − 7 G = 0.982 μ G . \begin{aligned}
\langle B_\parallel\rangle
&=\frac{17.27}
{1.7588\times10^7}\,\mathrm G\\
&=9.82\times10^{-7}\,\mathrm G\\
&=0.982\,\mu\mathrm G.
\end{aligned} ⟨ B ∥ ⟩ = 1.7588 × 1 0 7 17.27 G = 9.82 × 1 0 − 7 G = 0.982 μ G . 所以
⟨ B ∥ ⟩ ≃ 1.0 μ G . \boxed{
\langle B_\parallel\rangle
\simeq1.0\,\mu\mathrm G
}. ⟨ B ∥ ⟩ ≃ 1.0 μ G . 13.6 符号说明和量纲检查
理论上色散延迟和给定方向下的 Faraday angle 通常都随 ω \omega ω B ∥ B_\parallel B ∥
导数比的单位是
s s 2 = s − 1 , \frac{\mathrm s}{\mathrm{s^2}}=\mathrm{s^{-1}}, s 2 s = s − 1 , 它正好具有回旋角频率的单位，因为
e ⟨ B ∥ ⟩ m e c \frac{e\langle B_\parallel\rangle}{m_ec} m e c e ⟨ B ∥ ⟩ 就是平均磁场对应的电子回旋角频率。
14. English assignment-ready solution
Problem 8.3
For a cold, unmagnetized plasma, the pulse arrival time is
t p ≃ d c + 2 π e 2 m e c ω 2 ∫ n e d s . t_p\simeq \frac{d}{c}
+\frac{2\pi e^2}{m_ec\omega^2}
\int n_e\,ds. t p ≃ c d + m e c ω 2 2 π e 2 ∫ n e d s . Therefore,
d t p d ω = − 4 π e 2 m e c ω 3 ∫ n e d s . \frac{dt_p}{d\omega}
=-\frac{4\pi e^2}{m_ec\omega^3}
\int n_e\,ds. d ω d t p = − m e c ω 3 4 π e 2 ∫ n e d s . For Faraday rotation in a cold magnetized plasma,
Δ χ = 2 π e 3 m e 2 c 2 ω 2 ∫ n e B ∥ d s , \Delta\chi
=\frac{2\pi e^3}{m_e^2c^2\omega^2}
\int n_eB_\parallel\,ds, Δ χ = m e 2 c 2 ω 2 2 π e 3 ∫ n e B ∥ d s , and hence
d Δ χ d ω = − 4 π e 3 m e 2 c 2 ω 3 ∫ n e B ∥ d s . \frac{d\Delta\chi}{d\omega}
=-\frac{4\pi e^3}{m_e^2c^2\omega^3}
\int n_eB_\parallel\,ds. d ω d Δ χ = − m e 2 c 2 ω 3 4 π e 3 ∫ n e B ∥ d s . Taking the ratio eliminates the unknown electron column density, source distance, and observing frequency:
d Δ χ / d ω d t p / d ω = e m e c ∫ n e B ∥ d s ∫ n e d s = e m e c ⟨ B ∥ ⟩ . \frac{d\Delta\chi/d\omega}{dt_p/d\omega}
=\frac{e}{m_ec}
\frac{\int n_eB_\parallel\,ds}
{\int n_e\,ds}
=\frac{e}{m_ec}\langle B_\parallel\rangle. d t p / d ω d Δ χ / d ω = m e c e ∫ n e d s ∫ n e B ∥ d s = m e c e ⟨ B ∥ ⟩ . Thus,
⟨ B ∥ ⟩ = m e c e d Δ χ / d ω d t p / d ω . \langle B_\parallel\rangle
=\frac{m_ec}{e}
\frac{d\Delta\chi/d\omega}{dt_p/d\omega}. ⟨ B ∥ ⟩ = e m e c d t p / d ω d Δ χ / d ω . Using the magnitudes of the measured derivatives,
1.9 × 10 − 4 s 1.1 × 10 − 5 s 2 = 17.27 s − 1 . \frac{1.9\times10^{-4}\,\mathrm s}
{1.1\times10^{-5}\,\mathrm{s^2}}
=17.27\,\mathrm{s^{-1}}. 1.1 × 1 0 − 5 s 2 1.9 × 1 0 − 4 s = 17.27 s − 1 . Since
e m e c = 1.7588 × 10 7 s − 1 G − 1 , \frac{e}{m_ec}
=1.7588\times10^7
\,\mathrm{s^{-1}\,G^{-1}}, m e c e = 1.7588 × 1 0 7 s − 1 G − 1 , we find
⟨ B ∥ ⟩ = 17.27 1.7588 × 10 7 G = 9.82 × 10 − 7 G . \langle B_\parallel\rangle
=\frac{17.27}{1.7588\times10^7}\,\mathrm G
=9.82\times10^{-7}\,\mathrm G. ⟨ B ∥ ⟩ = 1.7588 × 1 0 7 17.27 G = 9.82 × 1 0 − 7 G . Therefore,
⟨ B ∥ ⟩ ≃ 1.0 μ G . \boxed{
\langle B_\parallel\rangle\simeq1.0\,\mu\mathrm G
}. ⟨ B ∥ ⟩ ≃ 1.0 μ G . The sign of the inferred field depends on the adopted conventions for the line-of-sight direction, circular polarization, and polarization position angle. The quoted positive derivatives are therefore most naturally interpreted as magnitudes.
15. 复习清单、量纲检查、极限检验与常见混淆
15.1 应该能够独立推导
从 E x , E y E_x,E_y E x , E y
从 Q = L cos 2 χ Q=L\cos2\chi Q = L cos 2 χ U = L sin 2 χ U=L\sin2\chi U = L sin 2 χ 2 χ 2\chi 2 χ
从 Stokes 定义证明完全偏振时 I 2 = Q 2 + U 2 + V 2 I^2=Q^2+U^2+V^2 I 2 = Q 2 + U 2 + V 2
用 Cauchy–Schwarz 证明一般情况下 I 2 ≥ Q 2 + U 2 + V 2 I^2\ge Q^2+U^2+V^2 I 2 ≥ Q 2 + U 2 + V 2
从电子运动方程得到 ϵ = 1 − ω p 2 / ω 2 \epsilon=1-\omega_p^2/\omega^2 ϵ = 1 − ω p 2 / ω 2
从 Maxwell 方程得到 ω 2 = ω p 2 + c 2 k 2 \omega^2=\omega_p^2+c^2k^2 ω 2 = ω p 2 + c 2 k 2
从色散关系得到 v p h v_{\rm ph} v ph v g v_g v g d t p / d ω dt_p/d\omega d t p / d ω
从 ϵ R , L \epsilon_{R,L} ϵ R , L k R − k L k_R-k_L k R − k L
从 δ ϕ = − r e λ N e \delta\phi=-r_e\lambda N_e δ ϕ = − r e λ N e
从延迟分布的 Fourier transform 得到 Δ ν d ∼ ( 2 π τ s c ) − 1 \Delta\nu_{\rm d}\sim(2\pi\tau_{\rm sc})^{-1} Δ ν d ∼ ( 2 π τ sc ) − 1
用色散和 Faraday 导数之比完成 Problem 8.3。
15.2 可以直接记住的核心结果
偏振：
P = Q + i U = L e 2 i χ , p = Q 2 + U 2 + V 2 I . P=Q+iU=Le^{2i\chi},
\qquad
p=\frac{\sqrt{Q^2+U^2+V^2}}{I}. P = Q + i U = L e 2 i χ , p = I Q 2 + U 2 + V 2 . 冷等离子体：
ω p 2 = 4 π n e e 2 m e , ω 2 = ω p 2 + c 2 k 2 . \omega_p^2=\frac{4\pi n_e e^2}{m_e},
\qquad
\omega^2=\omega_p^2+c^2k^2. ω p 2 = m e 4 π n e e 2 , ω 2 = ω p 2 + c 2 k 2 . 色散延迟：
Δ t D M ∝ D M ν − 2 . \Delta t_{\rm DM}\propto\mathrm{DM}\,\nu^{-2}. Δ t DM ∝ DM ν − 2 . Faraday rotation：
Δ χ = R M λ 2 , R M ∝ ∫ n e B ∥ d l . \Delta\chi=\mathrm{RM}\lambda^2,
\qquad
\mathrm{RM}\propto\int n_eB_\parallel\,dl. Δ χ = RM λ 2 , RM ∝ ∫ n e B ∥ d l . RM/DM 平均磁场：
⟨ B ∥ ⟩ n e ≃ 1.232 R M D M μ G . \langle B_\parallel\rangle_{n_e}
\simeq
1.232\frac{\mathrm{RM}}{\mathrm{DM}}\,\mu\mathrm G. ⟨ B ∥ ⟩ n e ≃ 1.232 DM RM μ G . 等离子体相位和折射：
δ ϕ = − r e λ N e , α ≃ − r e λ 2 2 π ∇ ⊥ N e . \delta\phi=-r_e\lambda N_e,
\qquad
\boldsymbol\alpha
\simeq
-\frac{r_e\lambda^2}{2\pi}\nabla_\perp N_e. δ ϕ = − r e λ N e , α ≃ − 2 π r e λ 2 ∇ ⊥ N e . 散射时频对偶：
Δ ν d τ s c ∼ 1 2 π . \Delta\nu_{\rm d}\tau_{\rm sc}\sim\frac{1}{2\pi}. Δ ν d τ sc ∼ 2 π 1 . 15.3 量纲检查
波数：
[ k ] = l e n g t h − 1 , [ k d s ] = 1. [k]=\mathrm{length}^{-1},
\qquad
[k\,ds]=1. [ k ] = length − 1 , [ k d s ] = 1. 因此 ∫ k d s \int kds ∫ k d s
色散导数：
[ d t p d ω ] = s 2 . \left[\frac{dt_p}{d\omega}\right]
=\mathrm{s^2}. [ d ω d t p ] = s 2 . Faraday 导数：
[ d Δ χ d ω ] = s , \left[\frac{d\Delta\chi}{d\omega}\right]
=\mathrm s, [ d ω d Δ χ ] = s , 因为弧度在量纲上为 1。
Problem 8.3 的导数比：
[ d Δ χ / d ω d t p / d ω ] = s − 1 , \left[
\frac{d\Delta\chi/d\omega}{dt_p/d\omega}
\right]
=\mathrm{s^{-1}}, [ d t p / d ω d Δ χ / d ω ] = s − 1 , 与 e B / ( m e c ) eB/(m_ec) e B / ( m e c )
偏折角：若 r e , λ r_e,\lambda r e , λ N e N_e N e l e n g t h − 2 \mathrm{length}^{-2} length − 2
[ r e λ 2 ∇ ⊥ N e ] = 1 , [r_e\lambda^2\nabla_\perp N_e]=1, [ r e λ 2 ∇ ⊥ N e ] = 1 , 符合角度无量纲。
15.4 极限检验
n e → 0 n_e\rightarrow0 n e → 0 ω p → 0 \omega_p\rightarrow0 ω p → 0 ω = c k \omega=ck ω = c k B ∥ → 0 B_\parallel\rightarrow0 B ∥ → 0 k R = k L k_R=k_L k R = k L ω → ∞ \omega\rightarrow\infty ω → ∞ n r → 1 n_r\rightarrow1 n r → 1 横向 N e N_e N e ∇ ⊥ N e = 0 \nabla_\perp N_e=0 ∇ ⊥ N e = 0
τ s c → 0 \tau_{\rm sc}\rightarrow0 τ sc → 0 Δ ν d \Delta\nu_{\rm d} Δ ν d 单一 Faraday depth：F ( ϕ ) F(\phi) F ( ϕ ) χ = χ 0 + ϕ λ 2 \chi=\chi_0+\phi\lambda^2 χ = χ 0 + ϕ λ 2
15.5 最容易混淆的地方
n e n_e n e n r n_r n r k R , k L k_R,k_L k R , k L Faraday rotation 旋转的是偏振轴，不等于射线传播方向弯曲。
DM 测量 ∫ n e d l \int n_e dl ∫ n e d l ∫ n e B ∥ d l \int n_eB_\parallel dl ∫ n e B ∥ d l
RM 小可能来自弱磁场，也可能来自磁场反向抵消。
v p h > c v_{\rm ph}>c v ph > c c c c 相位相对真空可以提前，但脉冲群延迟仍为正。
色散不等于吸收；理想冷等离子体介电常数为实数。
折射不等于散射；平滑梯度造成有组织偏折，随机涨落造成多径。
r e r_e r e 1.232 1.232 1.232 1 / 0.812 1/0.812 1/0.812 cgs 的 ω B = e B / ( m e c ) \omega_B=eB/(m_ec) ω B = e B / ( m e c ) B B B
15.6 自测问题
为什么线偏振角的周期是 180 ∘ 180^\circ 18 0 ∘ ( Q , U ) (Q,U) ( Q , U ) 360 ∘ 360^\circ 36 0 ∘
一束完全圆偏振波是否满足 I 2 = Q 2 + U 2 + V 2 I^2=Q^2+U^2+V^2 I 2 = Q 2 + U 2 + V 2
为什么无磁场等离子体中任意横向偏振都具有相同色散关系？
为什么背景磁场使圆偏振而不是任意线偏振成为本征模？
为什么 Faraday rotation 只测量 B ∥ B_\parallel B ∥
为什么 Problem 8.3 不需要知道脉冲星距离？
为什么电子过密的等离子体透镜通常是发散的？
为什么更长的散射尾对应更窄的 scintillation bandwidth？
什么情况下观测 RM 可以直接等同于单一 Faraday depth？
如何从单位制判断某条回旋频率公式是否漏了 c c c ϵ 0 \epsilon_0 ϵ 0
16. 资料与引用
G. B. Rybicki and A. P. Lightman, Radiative Processes in Astrophysics , §2.4, “Polarization and Stokes Parameters,” printed pp. 62–68.
Rybicki and Lightman, §8.1, “Dispersion in Cold, Isotropic Plasma,” printed pp. 224–228.
Rybicki and Lightman, §8.2, “Propagation Along a Magnetic Field; Faraday Rotation,” printed pp. 229–231.
Rybicki and Lightman, Problem 8.3, printed p. 236.
课程阅读要求中列出的 AstroBaki supplementary topics: Polarization , Stokes parameters , and Faraday rotation .
本文中的 Δ ν d \Delta\nu_{\rm d} Δ ν d τ s c \tau_{\rm sc} τ sc
17. 附录：SI 与 Gaussian-cgs 单位制对比及典型公式
17.1 使用原则
SI 与 Gaussian-cgs 对电磁量的定义和量纲不同。转换时必须把整条公式连同电荷、场和常数一起转换，不能只把 G 换成 T，却保留 cgs 的 e e e 4 π 4\pi 4 π 1 / c 1/c 1/ c
最常用的磁感应强度转换为
1 T = 10 4 G , 1 G = 10 − 4 T . \boxed{
1\,\mathrm T=10^4\,\mathrm G,
\qquad
1\,\mathrm G=10^{-4}\,\mathrm T
}. 1 T = 1 0 4 G , 1 G = 1 0 − 4 T . 进一步有
1 μ G = 10 − 10 T = 0.1 n T , 1\,\mu\mathrm G=10^{-10}\,\mathrm T=0.1\,\mathrm{nT}, 1 μ G = 1 0 − 10 T = 0.1 nT , 1 n T = 10 μ G . 1\,\mathrm{nT}=10\,\mu\mathrm G. 1 nT = 10 μ G . 17.2 电荷、电场与磁场的基本区别
物理量 SI Gaussian-cgs 长度 m cm 质量 kg g 电荷 C statC (esu) 电场 V m − 1 \mathrm{V\,m^{-1}} V m − 1 statV cm− 1 ^{-1} − 1 磁感应强度 B B B tesla (T) gauss (G) 磁场强度 H H H A m − 1 \mathrm{A\,m^{-1}} A m − 1 oersted (Oe) 磁通量 weber (Wb) maxwell (Mx)
磁通量转换：
1 W b = 10 8 M x . 1\,\mathrm{Wb}=10^8\,\mathrm{Mx}. 1 Wb = 1 0 8 Mx . 磁场强度转换：
1 O e = 1000 4 π A m − 1 ≃ 79.577 A m − 1 . 1\,\mathrm{Oe}
=\frac{1000}{4\pi}\,\mathrm{A\,m^{-1}}
\simeq79.577\,\mathrm{A\,m^{-1}}. 1 Oe = 4 π 1000 A m − 1 ≃ 79.577 A m − 1 . 真空中 SI 使用
B = μ 0 H , B=\mu_0H, B = μ 0 H , Gaussian-cgs 中 B B B H H H 1 G 1\,\mathrm G 1 G 1 O e 1\,\mathrm{Oe} 1 Oe
17.3 Coulomb force 与 Lorentz force
SI：
F = 1 4 π ϵ 0 q 1 q 2 r 2 , \boxed{
F=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}
\frac{q_1q_2}{r^2}
}, F = 4 π ϵ 0 1 r 2 q 1 q 2 , F = q ( E + v × B ) . \boxed{
\mathbf F=q(\mathbf E+\mathbf v\times\mathbf B)
}. F = q ( E + v × B ) . Gaussian-cgs：
F = q 1 q 2 r 2 , \boxed{
F=\frac{q_1q_2}{r^2}
}, F = r 2 q 1 q 2 , F = q ( E + v c × B ) . \boxed{
\mathbf F=q
\left(
\mathbf E+\frac{\mathbf v}{c}\times\mathbf B
\right)
}. F = q ( E + c v × B ) . cgs 中磁力项出现 1 / c 1/c 1/ c
17.4 真空 Maxwell 方程
SI：
∇ ⋅ E = ρ ϵ 0 , ∇ ⋅ B = 0 , \nabla\cdot\mathbf E=\frac{\rho}{\epsilon_0},
\qquad
\nabla\cdot\mathbf B=0, ∇ ⋅ E = ϵ 0 ρ , ∇ ⋅ B = 0 , ∇ × E = − ∂ B ∂ t , \nabla\times\mathbf E
=-\frac{\partial\mathbf B}{\partial t}, ∇ × E = − ∂ t ∂ B , ∇ × B = μ 0 J + μ 0 ϵ 0 ∂ E ∂ t . \nabla\times\mathbf B
=\mu_0\mathbf J
+\mu_0\epsilon_0
\frac{\partial\mathbf E}{\partial t}. ∇ × B = μ 0 J + μ 0 ϵ 0 ∂ t ∂ E . 因为
μ 0 ϵ 0 = 1 c 2 , \mu_0\epsilon_0=\frac{1}{c^2}, μ 0 ϵ 0 = c 2 1 , 最后一项也可写成 c − 2 ∂ t E c^{-2}\partial_t\mathbf E c − 2 ∂ t E
Gaussian-cgs：
∇ ⋅ E = 4 π ρ , ∇ ⋅ B = 0 , \nabla\cdot\mathbf E=4\pi\rho,
\qquad
\nabla\cdot\mathbf B=0, ∇ ⋅ E = 4 π ρ , ∇ ⋅ B = 0 , ∇ × E = − 1 c ∂ B ∂ t , \nabla\times\mathbf E
=-\frac{1}{c}
\frac{\partial\mathbf B}{\partial t}, ∇ × E = − c 1 ∂ t ∂ B , ∇ × B = 4 π c J + 1 c ∂ E ∂ t . \nabla\times\mathbf B
=\frac{4\pi}{c}\mathbf J
+\frac{1}{c}
\frac{\partial\mathbf E}{\partial t}. ∇ × B = c 4 π J + c 1 ∂ t ∂ E . 17.5 真空平面波关系
SI 真空平面波：
E = c B . \boxed{
E=cB
}. E = c B . Gaussian-cgs 真空平面波：
E = B . \boxed{
E=B
}. E = B . 这里的等号比较的是各自单位制中的数值。不能据此说物理电场与磁场具有完全相同的 SI 单位。
17.6 等离子体频率与回旋频率
电子等离子体频率：
ω p 2 = n e e 2 m e ϵ 0 (SI) , \boxed{
\omega_p^2
=\frac{n_e e^2}{m_e\epsilon_0}
}
\quad\text{(SI)}, ω p 2 = m e ϵ 0 n e e 2 (SI) , ω p 2 = 4 π n e e 2 m e (Gaussian-cgs) . \boxed{
\omega_p^2
=\frac{4\pi n_e e^2}{m_e}
}
\quad\text{(Gaussian-cgs)}. ω p 2 = m e 4 π n e e 2 (Gaussian-cgs) . 电子回旋角频率：
ω B = e B m e (SI) , \boxed{
\omega_B=\frac{eB}{m_e}
}
\quad\text{(SI)}, ω B = m e e B (SI) , ω B = e B m e c (Gaussian-cgs) . \boxed{
\omega_B=\frac{eB}{m_ec}
}
\quad\text{(Gaussian-cgs)}. ω B = m e c e B (Gaussian-cgs) . 数值形式：
ω B = 1.7588 × 10 11 B ( T ) r a d s − 1 , \omega_B
=1.7588\times10^{11}B(\mathrm T)
\ \mathrm{rad\,s^{-1}}, ω B = 1.7588 × 1 0 11 B ( T ) rad s − 1 , ω B = 1.7588 × 10 7 B ( G ) r a d s − 1 . \omega_B
=1.7588\times10^7B(\mathrm G)
\ \mathrm{rad\,s^{-1}}. ω B = 1.7588 × 1 0 7 B ( G ) rad s − 1 . 17.7 经典电子半径与 Thomson 截面
SI：
r e = e 2 4 π ϵ 0 m e c 2 . \boxed{
r_e
=\frac{e^2}{4\pi\epsilon_0m_ec^2}
}. r e = 4 π ϵ 0 m e c 2 e 2 . Gaussian-cgs：
r e = e 2 m e c 2 . \boxed{
r_e
=\frac{e^2}{m_ec^2}
}. r e = m e c 2 e 2 . 两种单位制都给出同一个长度：
r e = 2.81794 × 10 − 15 m . r_e=2.81794\times10^{-15}\,\mathrm m. r e = 2.81794 × 1 0 − 15 m . 用 r e r_e r e
σ T = 8 π 3 r e 2 . \boxed{
\sigma_T=\frac{8\pi}{3}r_e^2
}. σ T = 3 8 π r e 2 . 17.8 电磁场能量密度与 Poynting vector
SI：
u = ϵ 0 E 2 2 + B 2 2 μ 0 , \boxed{
u
=\frac{\epsilon_0E^2}{2}
+\frac{B^2}{2\mu_0}
}, u = 2 ϵ 0 E 2 + 2 μ 0 B 2 , S = 1 μ 0 E × B . \boxed{
\mathbf S
=\frac{1}{\mu_0}\mathbf E\times\mathbf B
}. S = μ 0 1 E × B . Gaussian-cgs：
u = E 2 + B 2 8 π , \boxed{
u=\frac{E^2+B^2}{8\pi}
}, u = 8 π E 2 + B 2 , S = c 4 π E × B . \boxed{
\mathbf S
=\frac{c}{4\pi}\mathbf E\times\mathbf B
}. S = 4 π c E × B . 单独的磁场能量密度是
u B = B 2 2 μ 0 (SI) , u_B=\frac{B^2}{2\mu_0}
\quad\text{(SI)}, u B = 2 μ 0 B 2 (SI) , u B = B 2 8 π (Gaussian-cgs) . u_B=\frac{B^2}{8\pi}
\quad\text{(Gaussian-cgs)}. u B = 8 π B 2 (Gaussian-cgs) . 17.9 Larmor power
非相对论带电粒子的 Larmor 辐射功率：
P = q 2 a 2 6 π ϵ 0 c 3 (SI) , \boxed{
P
=\frac{q^2a^2}{6\pi\epsilon_0c^3}
}
\quad\text{(SI)}, P = 6 π ϵ 0 c 3 q 2 a 2 (SI) , P = 2 q 2 a 2 3 c 3 (Gaussian-cgs) . \boxed{
P
=\frac{2q^2a^2}{3c^3}
}
\quad\text{(Gaussian-cgs)}. P = 3 c 3 2 q 2 a 2 (Gaussian-cgs) . 17.10 Faraday rotation
SI：
Δ χ = e 3 λ 2 8 π 2 ϵ 0 m e 2 c 3 ∫ n e B ∥ d l . \boxed{
\Delta\chi
=\frac{e^3\lambda^2}
{8\pi^2\epsilon_0m_e^2c^3}
\int n_eB_\parallel\,dl
}. Δ χ = 8 π 2 ϵ 0 m e 2 c 3 e 3 λ 2 ∫ n e B ∥ d l . Gaussian-cgs：
Δ χ = e 3 λ 2 2 π m e 2 c 4 ∫ n e B ∥ d l . \boxed{
\Delta\chi
=\frac{e^3\lambda^2}
{2\pi m_e^2c^4}
\int n_eB_\parallel\,dl
}. Δ χ = 2 π m e 2 c 4 e 3 λ 2 ∫ n e B ∥ d l . 转换为统一的天文实用单位后，两者都给出
R M = 0.812 ∫ n e ( c m − 3 ) B ∥ ( μ G ) d l ( p c ) r a d m − 2 . \boxed{
\mathrm{RM}
=0.812
\int
n_e(\mathrm{cm^{-3}})
B_\parallel(\mu\mathrm G)
\,dl(\mathrm{pc})
\ \mathrm{rad\,m^{-2}}
}. RM = 0.812 ∫ n e ( c m − 3 ) B ∥ ( μ G ) d l ( pc ) rad m − 2 . 17.11 最后检查规则
看到电磁公式时，先检查：
B B B e e e 公式里出现的是 ϵ 0 , μ 0 \epsilon_0,\mu_0 ϵ 0 , μ 0 4 π , c 4\pi,c 4 π , c
Lorentz magnetic force 中有没有 1 / c 1/c 1/ c
真空平面波使用的是 E = c B E=cB E = c B E = B E=B E = B
能量密度分母是 2 μ 0 2\mu_0 2 μ 0 8 π 8\pi 8 π
只要一条公式中同时出现 SI 的 ϵ 0 \epsilon_0 ϵ 0 1 / c 1/c 1/ c